Номер 17, страница 196, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

17. На окружности отмечены 6 красных и 9 синих точек.

а) Сколько существует треугольников с вершинами во всех отмеченных точках?

б) Сколько существует треугольников, у которых ровно одна вершина синяя?

в) Сколько существует треугольников, у которых хотя бы две вершины синие?

а) Сколько существует треугольников с вершинами во всех отмеченных точках?

Всего на окружности отмечено $6 + 9 = 15$ точек. Для построения треугольника необходимо выбрать 3 вершины из этих 15 точек. Поскольку все точки лежат на окружности, любые три из них не являются коллинеарными (не лежат на одной прямой) и, следовательно, образуют треугольник. Количество способов выбрать 3 точки из 15 равно числу сочетаний из 15 по 3, которое вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $n=15$ и $k=3$:

$C_{15}^3 = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15!}{3!12!} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 5 \times 7 \times 13 = 455$

Ответ: 455

б) Сколько существует треугольников, у которых ровно одна вершина синяя?

Для того чтобы у треугольника была ровно одна синяя вершина, необходимо, чтобы две другие его вершины были красными. Следовательно, нам нужно выбрать 1 синюю вершину из 9 и 2 красные вершины из 6.

Количество способов выбрать 1 синюю вершину из 9 равно:

$C_9^1 = \frac{9!}{1!(9-1)!} = 9$

Количество способов выбрать 2 красные вершины из 6 равно:

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

По правилу произведения в комбинаторике, общее количество таких треугольников равно произведению этих двух значений:

$C_9^1 \times C_6^2 = 9 \times 15 = 135$

Ответ: 135

в) Сколько существует треугольников, у которых хотя бы две вершины синие?

Фраза "хотя бы две вершины синие" означает, что у треугольника могут быть либо ровно две синие вершины, либо все три вершины синие. Мы можем рассчитать количество треугольников для каждого из этих случаев и сложить результаты.

Случай 1: Ровно две синие вершины.

Это означает, что третья вершина должна быть красной. Нам нужно выбрать 2 синие вершины из 9 и 1 красную вершину из 6.

Количество способов выбрать 2 синие вершины: $C_9^2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9 \times 8}{2} = 36$

Количество способов выбрать 1 красную вершину: $C_6^1 = \frac{6!}{1!(6-1)!} = 6$

Общее количество треугольников в этом случае: $36 \times 6 = 216$

Случай 2: Ровно три синие вершины.

Это означает, что все три вершины должны быть синими. Нам нужно выбрать 3 синие вершины из 9.

Количество способов выбрать 3 синие вершины: $C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$

Теперь сложим количество треугольников из обоих случаев, чтобы найти общее количество треугольников с хотя бы двумя синими вершинами:

$216 + 84 = 300$

Альтернативное решение: можно из общего числа треугольников (из пункта а) вычесть число треугольников, у которых 0 синих вершин (т.е. все 3 красные) и число треугольников, у которых 1 синяя вершина (из пункта б).

Число треугольников с 3 красными вершинами: $C_6^3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$.

Число треугольников с 1 синей вершиной: 135.

Тогда искомое число: $455 - 20 - 135 = 300$.

Ответ: 300