Страница 194, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

1.

a) Сколько существует четырехзначных чисел, состоящих только из нечетных цифр?

б) Сколько существует четырехзначных чисел, состоящих только из четных цифр?

а) Чтобы найти количество четырехзначных чисел, состоящих только из нечетных цифр, необходимо определить, сколько вариантов есть для каждой из четырех позиций в числе. Нечетные цифры — это {1, 3, 5, 7, 9}, всего их 5.
Поскольку число четырехзначное, оно имеет четыре разряда: тысячи, сотни, десятки и единицы.
1. На место тысяч можно поставить любую из 5 нечетных цифр.
2. На место сотен можно поставить любую из 5 нечетных цифр.
3. На место десятков можно поставить любую из 5 нечетных цифр.
4. На место единиц можно поставить любую из 5 нечетных цифр.
Общее количество комбинаций равно произведению количества вариантов для каждой позиции. Таким образом, общее количество таких чисел равно:$5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^4 = 625$.
Ответ: 625

б) Чтобы найти количество четырехзначных чисел, состоящих только из четных цифр, необходимо определить, сколько вариантов есть для каждой из четырех позиций. Четные цифры — это {0, 2, 4, 6, 8}, всего их 5.
1. На место тысяч можно поставить любую из четных цифр, кроме нуля (так как число не может начинаться с нуля). Таким образом, для первой цифры есть 4 варианта: {2, 4, 6, 8}.
2. На место сотен можно поставить любую из 5 четных цифр, включая ноль.
3. На место десятков можно поставить любую из 5 четных цифр.
4. На место единиц можно поставить любую из 5 четных цифр.
Общее количество комбинаций равно произведению количества вариантов для каждой позиции:$4 \times 5 \times 5 \times 5 = 4 \times 5^3 = 4 \times 125 = 500$.
Ответ: 500

2. Жанар, Олег и еще пятеро друзей купили билеты в кино на один ряд на места с 1-е по 7-е.

a) Сколькими способами они могут сесть на свои места?

б) Сколькими способами они могут занять свои места так, что Олег сядет на 2-е место?

в) Сколькими способами они могут занять свои места так, что Олег не сядет на 2-е место?

г) Сколькими способами они могут занять свои места так, что Олег и Жанар окажутся сидящими рядом?

д) Сколькими способами они могут занять свои места так, что Олег и Жанар не окажутся сидящими рядом?

Всего 7 друзей (Жанар, Олег и еще 5) и 7 мест. Это задача на перестановки.

а) Сколькими способами они могут сесть на свои места?
Это число перестановок из 7 элементов. Количество способов равно факториалу числа человек. $P_n = n!$
В данном случае $n=7$.
$P_7 = 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$ способов.
Ответ: 5040

б) Сколькими способами они могут занять свои места так, что Олег сядет на 2-е место?
Если место Олега зафиксировано (2-е место), то остается 6 друзей, которых нужно рассадить на оставшиеся 6 мест. Это число перестановок из 6 элементов.
$P_6 = 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$ способов.
Ответ: 720

в) Сколькими способами они могут занять свои места так, что Олег не сядет на 2-е место?
Это можно найти, вычтя из общего числа способов (пункт а) число способов, когда Олег сидит на 2-м месте (пункт б).
$N = P_7 - P_6 = 5040 - 720 = 4320$ способов.
Либо можно рассуждать так: у Олега есть 6 вариантов сесть (любое место, кроме второго). Для каждого из этих вариантов оставшиеся 6 человек могут сесть на 6 оставшихся мест $6!$ способами. Итог: $6 \times 6! = 6 \times 720 = 4320$ способов.
Ответ: 4320

г) Сколькими способами они могут занять свои места так, что Олег и Жанар окажутся сидящими рядом?
Будем рассматривать Олега и Жанар как единый объект. Тогда у нас есть 6 "объектов" для рассадки (пара "Олег и Жанар" и 5 друзей). Число способов их рассадить равно $P_6 = 6! = 720$.
Внутри пары "Олег и Жанар" они могут сидеть двумя способами: "Олег, Жанар" или "Жанар, Олег" ($2! = 2$ способа).
Общее число способов равно произведению этих двух величин:
$N = 6! \times 2! = 720 \times 2 = 1440$ способов.
Ответ: 1440

д) Сколькими способами они могут занять свои места так, что Олег и Жанар не окажутся сидящими рядом?
Чтобы найти это число, нужно из общего числа всех возможных рассадок (пункт а) вычесть число рассадок, при которых они сидят рядом (пункт г).
$N = (\text{Всего способов}) - (\text{Способы, где они рядом}) = 7! - (6! \times 2!) = 5040 - 1440 = 3600$ способов.
Ответ: 3600