Страница 188, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

11. (2) В очереди за билетами стоят друзья: Артур, Ансар, Габит, Толеген и Арыстан. Известно, что Артур купил билет раньше, чем Ансар, но позже Арыстана. Габит и Арыстан не стоят рядом, а Толеген не находится рядом ни с Артуром, ни с Арыстаном, ни с Габитом. Кто за кем стоит?

Для решения задачи проанализируем последовательно все условия, наложенные на расположение пятерых друзей (Артура, Ансара, Габита, Толегена и Арыстана) в очереди.

Первое условие: Артур купит билет раньше, чем Ансар, но позже Арыстана. Это означает, что их относительный порядок в очереди строго определен: сначала в очереди стоит Арыстан, где-то после него — Артур, и где-то после Артура — Ансар. Используя математическое обозначение, где меньший номер означает более раннюю позицию в очереди, получаем: $Позиция_{Арыстан} < Позиция_{Артур} < Позиция_{Ансар}$.

Рассмотрим самое сильное ограничение: Толеген не находится рядом ни с Артуром, ни с Арыстаном, ни с Габитом. Из этого следует, что единственный человек, рядом с которым может стоять Толеген, — это Ансар. Чтобы у Толегена был только один сосед, он должен занимать крайнее место в очереди (первое или последнее). Таким образом, пара Толеген-Ансар должна стоять с краю очереди. Если они стоят в начале (Толеген на 1-м месте, Ансар на 2-м), это противоречит первому условию, так как перед Ансаром должны быть как минимум два человека (Арыстан и Артур). Следовательно, они должны стоять в конце очереди. Это означает, что Ансар занимает 4-е место, а Толеген — 5-е. Очередь выглядит так: _ (1), _ (2), _ (3), Ансар (4), Толеген (5).

Теперь нужно расставить оставшихся троих друзей — Арыстана, Артура и Габита — на первые три места. При этом мы должны учесть первое условие ($Позиция_{Арыстан} < Позиция_{Артур}$) и оставшееся условие: Габит и Арыстан не стоят рядом. Так как Арыстан должен быть раньше Артура, Арыстан может стоять на 1-м или 2-м месте. Если Арыстан стоит на 2-м месте, то Габит будет на 1-м, и они окажутся рядом, что запрещено. Значит, Арыстан должен стоять на 1-м месте. Так как Габит не может стоять рядом с Арыстаном, он не может быть на 2-м месте, следовательно, Габит стоит на 3-м месте. Тогда Артуру остается 2-е место. Таким образом, единственный возможный порядок для первых трех человек — это Арыстан, Артур, Габит.

Собирая все части вместе, мы получаем окончательную последовательность. Все условия при этом выполняются: Артур (2-й) стоит позже Арыстана (1-й) и раньше Ансара (4-й); Габит (3-й) не стоит рядом с Арыстаном (1-й); Толеген (5-й) стоит рядом только с Ансаром.
Ответ: Друзья стоят в очереди в следующем порядке: Арыстан, за ним Артур, затем Габит, после него Ансар и последним стоит Толеген.

12. (2) Упростите выражение $(1-\sin \alpha \cos \alpha \operatorname{tg} \alpha)+\sin^2 \alpha+3$.

Для того чтобы упростить данное выражение, начнем с преобразования части, содержащей тангенс. Исходное выражение: $(1 - \sin \alpha \cos \alpha \operatorname{tg} \alpha) + \sin^2 \alpha + 3$.

По определению тангенса, $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. Подставим это определение в выражение в скобках:

$(1 - \sin \alpha \cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}) + \sin^2 \alpha + 3$

Внутри скобок можно сократить $\cos \alpha$ (при условии, что $\cos \alpha \neq 0$, что необходимо для существования тангенса):

$(1 - \sin \alpha \cdot \sin \alpha) + \sin^2 \alpha + 3 = (1 - \sin^2 \alpha) + \sin^2 \alpha + 3$

Теперь уберем скобки, так как они не влияют на порядок действий:

$1 - \sin^2 \alpha + \sin^2 \alpha + 3$

Члены $-\sin^2 \alpha$ и $+\sin^2 \alpha$ взаимно уничтожаются.

Остается сложить числа:

$1 + 3 = 4$

Ответ: 4