Страница 193, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Используя формулу $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, докажите что $C_n^n = C_n^0 = 1$, $C_n^{n-1} = C_n^1 = n$, $C_n^{n-2} = C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$.

$C_n^n=C_n^0=1$

Для доказательства воспользуемся формулой числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ и определением факториала, согласно которому $0!=1$.

Сначала докажем, что $C_n^n=1$. Подставим $k=n$ в формулу:
$C_n^n = \frac{n!}{n!(n-n)!} = \frac{n!}{n!0!} = \frac{n!}{n! \cdot 1} = 1$.

Теперь докажем, что $C_n^0=1$. Подставим $k=0$ в формулу:
$C_n^0 = \frac{n!}{0!(n-0)!} = \frac{n!}{1 \cdot n!} = \frac{n!}{n!} = 1$.

Поскольку оба выражения равны 1, равенство $C_n^n=C_n^0=1$ доказано.
Ответ: Доказано, что $C_n^n = C_n^0 = 1$.

$C_n^{n-1}=C_n^1=n$

Для доказательства воспользуемся той же формулой $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ и свойством факториала $n! = n \cdot (n-1)!$.

Сначала докажем, что $C_n^{n-1}=n$. Подставим $k=n-1$ в формулу:
$C_n^{n-1} = \frac{n!}{(n-1)!(n-(n-1))!} = \frac{n!}{(n-1)!1!} = \frac{n \cdot (n-1)!}{(n-1)! \cdot 1} = n$.

Теперь докажем, что $C_n^1=n$. Подставим $k=1$ в формулу:
$C_n^1 = \frac{n!}{1!(n-1)!} = \frac{n!}{(n-1)!} = \frac{n \cdot (n-1)!}{(n-1)!} = n$.

Поскольку оба выражения равны $n$, равенство $C_n^{n-1}=C_n^1=n$ доказано.
Ответ: Доказано, что $C_n^{n-1} = C_n^1 = n$.

$C_n^{n-2}=C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$

Для доказательства снова воспользуемся формулой $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ и свойствами факториала: $n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!$ и $2! = 2$.

Сначала докажем, что $C_n^{n-2}=\frac{n(n-1)}{2}$. Подставим $k=n-2$ в формулу:
$C_n^{n-2} = \frac{n!}{(n-2)!(n-(n-2))!} = \frac{n!}{(n-2)!2!} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}{2 \cdot (n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$.

Теперь докажем, что $C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$. Подставим $k=2$ в формулу:
$C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}{2 \cdot (n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$.

Поскольку оба выражения равны $\frac{n(n-1)}{2}$, равенство $C_n^{n-2}=C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$ доказано.
Ответ: Доказано, что $C_n^{n-2} = C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$.