Номер 8, страница 187, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

8. Пусть испытание состоит в одновременном подбрасывании трех различных монет. Будем записывать «0» каждый раз, когда выпадает «орел», и записывать «1», если выпадает «решка». Определим событие $A$: «на всех монетах выпал «орел»», событие $B$: «ровно на одной монете из трех выпал «орел»», $C$: «на первой монете выпал «орел»».

а) Запишите последовательности из нулей и единиц, которые соответствуют элементарным исходам событий $A$, $B$ и $C$.

б) Определите еще два события так, чтобы вместе с событиями $A$ и $B$ все четыре образовали полную группу событий.

а)

Сначала определим все возможные элементарные исходы испытания. Поскольку подбрасываются три монеты, и для каждой монеты есть два исхода («орел» - 0 или «решка» - 1), общее число элементарных исходов равно $2^3 = 8$. Запишем их в виде последовательностей из трех цифр, где позиция цифры соответствует номеру монеты:

$\Omega = \{000, 001, 010, 100, 110, 101, 011, 111\}$

Теперь найдем последовательности, соответствующие каждому из событий:

• Событие A: «на всех монетах выпал орел». Это означает, что все три исхода — «орел», то есть «0». Этому событию соответствует только одна последовательность: 000.
• Событие B: «ровно на одной монете из трех выпал орел». Это означает, что в последовательности из трех цифр должна быть ровно одна цифра «0». Таких последовательностей три: «орел» на первой монете (011), на второй (101) или на третьей (110).
• Событие C: «на первой монете выпал орел». Это означает, что последовательность должна начинаться с цифры «0». Остальные две цифры могут быть любыми. Таких последовательностей четыре: 000, 001, 010, 011.

Ответ:
Для события A: {000}
Для события B: {011, 101, 110}
Для события C: {000, 001, 010, 011}

б)

Полная группа событий — это набор событий, которые являются попарно несовместными (никакие два не могут произойти одновременно) и их объединение составляет все пространство элементарных исходов (в результате испытания обязательно произойдет одно из них).

Событие A соответствует исходу «выпало 3 орла». Его элементарный исход: $A = \{000\}$.

Событие B соответствует исходу «выпал ровно 1 орел». Его элементарные исходы: $B = \{011, 101, 110\}$.

События A и B несовместны, так как количество орлов в них разное.

Чтобы составить полную группу, нам нужно описать все остальные возможные исходы. Все пространство исходов $\Omega$ состоит из 8 последовательностей. Исключим из него исходы, входящие в события A и B:

$\Omega \setminus (A \cup B) = \{000, 001, 010, 100, 110, 101, 011, 111\} \setminus \{000, 011, 101, 110\} = \{001, 010, 100, 111\}$

Оставшиеся исходы можно сгруппировать по числу выпавших орлов:

• Исходы, где выпало ровно два орла: {001, 010, 100}.
• Исход, где не выпало ни одного орла (выпали все решки): {111}.

Таким образом, мы можем определить два новых события:

Событие D: «ровно на двух монетах из трех выпал орел». Этому событию соответствуют исходы {001, 010, 100}.

Событие E: «ни на одной монете не выпал орел» (или «на всех монетах выпала решка»). Этому событию соответствует исход {111}.

Проверим, образуют ли события A, B, D и E полную группу:

1. Попарная несовместность: События A (3 орла), B (1 орел), D (2 орла) и E (0 орлов) не могут произойти одновременно, так как в каждом из них разное количество орлов.
2. Полнота: Объединение множеств их исходов $A \cup B \cup D \cup E = \{000\} \cup \{011, 101, 110\} \cup \{001, 010, 100\} \cup \{111\} = \Omega$. Это все 8 возможных исходов.

Следовательно, события A, B и два новых события D и E образуют полную группу.

Ответ: Два новых события могут быть определены так:
1. «Ровно на двух монетах из трех выпал орел».
2. «Ни на одной монете не выпал орел» (или «На всех монетах выпала решка»).