Номер 37, страница 176, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Найдите область определения функции (37-38):

37. (2) а) $y=\sqrt{4\cos x - 2\sqrt{8\sin x+4}}$

б) $y = \frac{1+\text{ctg}x}{\sqrt{3\text{tg}x-\sqrt{3}}} - \frac{1}{\sqrt{5\sin x+10}}$

a) Для нахождения области определения функции $y = \sqrt{4\cos x - 2\sqrt{3}} - \sqrt{8\sin x + 4}$ необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

$ \begin{cases} 4\cos x - 2\sqrt{3} \ge 0 \\ 8\sin x + 4 \ge 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство отдельно.

1) $4\cos x - 2\sqrt{3} \ge 0$

$4\cos x \ge 2\sqrt{3}$

$\cos x \ge \frac{2\sqrt{3}}{4}$

$\cos x \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решением этого неравенства является множество значений $x$, удовлетворяющих условию:

$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $8\sin x + 4 \ge 0$

$8\sin x \ge -4$

$\sin x \ge -\frac{4}{8}$

$\sin x \ge -\frac{1}{2}$

Решением этого неравенства является множество значений $x$, удовлетворяющих условию:

$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для нахождения области определения исходной функции необходимо найти пересечение решений двух неравенств. Нанеся оба решения на тригонометрическую окружность или числовую прямую, находим их общую часть:

$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $[-\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{\pi}{6} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.

б) Для нахождения области определения функции $y = \frac{1+\text{ctg}\:x}{\sqrt{3\text{tg}\:x - \sqrt{3}}} - \frac{1}{\sqrt{5\sin x + 10}}$ необходимо выполнение следующих условий:

1. Функции $\text{tg}\:x$ и $\text{ctg}\:x$ должны быть определены. Это означает, что $\cos x \neq 0$ и $\sin x \neq 0$.

2. Выражения, стоящие под знаком корня в знаменателях, должны быть строго положительными, так как деление на ноль недопустимо и корень из отрицательного числа не определен в действительных числах.

Таким образом, получаем систему условий:

$ \begin{cases} \cos x \neq 0 \\ \sin x \neq 0 \\ 3\text{tg}\:x - \sqrt{3} > 0 \\ 5\sin x + 10 > 0 \end{cases} $

Рассмотрим каждое неравенство.

1) $5\sin x + 10 > 0$

$5\sin x > -10$

$\sin x > -2$

Это неравенство выполняется для любых действительных значений $x$, так как область значений функции синус $[-1, 1]$, и любое значение из этого промежутка больше -2. Таким образом, это условие не накладывает ограничений на область определения.

2) $3\text{tg}\:x - \sqrt{3} > 0$

$3\text{tg}\:x > \sqrt{3}$

$\text{tg}\:x > \frac{\sqrt{3}}{3}$

Решением этого тригонометрического неравенства являются интервалы:

$\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Проверим, удовлетворяет ли это решение остальным условиям системы. В полученных интервалах $\cos x \neq 0$, так как правая граница $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ не включается. Также в этих интервалах $\sin x \neq 0$, так как точки, где синус равен нулю ($x = \pi n$), не попадают в данные интервалы. Следовательно, найденное решение является итоговой областью определения функции.

Ответ: $(\frac{\pi}{6} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.