Номер 30, страница 176, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

30. (2)

$ \begin{cases} \cos x \ge \frac{1}{2}, \\ \operatorname{tg} x \le -\sqrt{3}. \end{cases} $

Решим данную систему тригонометрических неравенств:

$$\begin{cases}\cos x \ge \frac{1}{2} \\\tg x \le -\sqrt{3}\end{cases}$$

Для решения системы найдем множества решений для каждого неравенства по отдельности, а затем найдем их пересечение.

1. Решение первого неравенства $\cos x \ge \frac{1}{2}$

Сначала рассмотрим соответствующее уравнение $\cos x = \frac{1}{2}$. Его решениями являются $x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n$, что равносильно $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Используя тригонометрическую окружность, мы видим, что косинус (абсцисса точки на окружности) больше или равен $\frac{1}{2}$ на дуге, заключенной между углами $-\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\pi}{3}$.

Следовательно, решением первого неравенства является множество всех $x$, удовлетворяющих условию:

$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

2. Решение второго неравенства $\tg x \le -\sqrt{3}$

Рассмотрим уравнение $\tg x = -\sqrt{3}$. Его решениями являются $x = \arctan(-\sqrt{3}) + \pi k$, что равносильно $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Функция тангенс возрастает на каждом из своих интервалов определения $\left(-\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k\right)$. Неравенство $\tg x \le -\sqrt{3}$ выполняется для углов, которые меньше или равны $-\frac{\pi}{3}$ в пределах каждого такого интервала.

Таким образом, решение второго неравенства можно записать в виде:

$-\frac{\pi}{2} + \pi k < x \le -\frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

3. Нахождение пересечения решений

Теперь необходимо найти общие решения для обоих неравенств. Отметим полученные множества на единичной окружности.

Решение первого неравенства, $\left[-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{\pi}{3} + 2\pi n\right]$, на окружности представляет собой дугу от точки $-\frac{\pi}{3}$ до $\frac{\pi}{3}$ (включая концы), расположенную в первом и четвертом квадрантах.

Решение второго неравенства, $\left(-\frac{\pi}{2} + \pi k, -\frac{\pi}{3} + \pi k\right]$, на окружности представляет собой две дуги: $\left(-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{3}\right]$ (при $k=0$) и $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}\right]$ (при $k=1$).

Пересечение этих двух множеств на окружности — это общие точки для дуги $\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right]$ и совокупности дуг $\left(-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{3}\right] \cup \left(\frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}\right]$.

Видно, что единственной общей точкой является $x = -\frac{\pi}{3}$. Эта точка принадлежит первому множеству (так как $-\frac{\pi}{3} \le -\frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{3}$) и второму множеству (так как $-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{3} \le -\frac{\pi}{3}$).

Так как решения должны удовлетворять обоим условиям, а периодичность первого множества равна $2\pi$, итоговое решение будет представлять собой набор точек, повторяющихся с периодом $2\pi$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.