Номер 25, страница 175, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

25. (1)

$\begin{cases} ctgx \geq 1, \\ cosx > \frac{1}{2}. \end{cases}$

Для решения системы тригонометрических неравенств необходимо найти множество значений $x$, удовлетворяющих каждому неравенству в отдельности, а затем найти пересечение этих множеств.

Система неравенств:

$\begin{cases} \text{ctg}\,x \ge 1, \\ \cos x > \frac{1}{2}. \end{cases}$

1. Решение неравенства $ctg(x) \ge 1$.

Сначала найдем корни уравнения $ctg(x) = 1$. Главное значение $x = \frac{\pi}{4}$. Поскольку период функции котангенса равен $\pi$, все решения уравнения имеют вид $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Функция $y = ctg(x)$ является убывающей на своих областях определения $( \pi n, \pi(n+1) )$. Рассмотрим решение на основном интервале $(0, \pi)$. На этом интервале $ctg(x) = 1$ при $x = \frac{\pi}{4}$. Так как функция убывает, неравенство $ctg(x) \ge 1$ будет выполняться для значений $x$, которые меньше или равны $\frac{\pi}{4}$, но больше $0$ (поскольку в точке $x=0$ котангенс не определен). Таким образом, на интервале $(0, \pi)$ решением является $0 < x \le \frac{\pi}{4}$.

Учитывая периодичность функции, общее решение первого неравенства будет:

$\pi n < x \le \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. Решение неравенства $\cos x > \frac{1}{2}$.

Найдем корни уравнения $\cos x = \frac{1}{2}$. На промежутке $[-\pi, \pi]$ решениями являются $x = -\frac{\pi}{3}$ и $x = \frac{\pi}{3}$.

На тригонометрической окружности косинус — это абсцисса точки. Неравенство $\cos x > \frac{1}{2}$ выполняется для всех точек окружности, которые лежат правее вертикальной прямой $x = \frac{1}{2}$. Эта дуга соответствует углам в интервале $(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3})$.

Период функции косинуса равен $2\pi$. Следовательно, общее решение второго неравенства:

$-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3. Нахождение пересечения решений.

Теперь нам нужно найти пересечение двух множеств решений:

1) $\pi n < x \le \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Изобразим эти решения на тригонометрической окружности или числовой прямой. Проще всего рассмотреть пересечение на одном периоде длиной $2\pi$, например на $[0, 2\pi)$.

Решение 1 на $[0, 2\pi)$:При $n=0$: $0 < x \le \frac{\pi}{4}$.При $n=1$: $\pi < x \le \frac{5\pi}{4}$.Итого: $(0, \frac{\pi}{4}] \cup (\pi, \frac{5\pi}{4}]$.

Решение 2 на $[0, 2\pi)$:При $k=0$: $-\frac{\pi}{3} < x < \frac{\pi}{3}$, что на $[0, 2\pi)$ дает $[0, \frac{\pi}{3})$.При $k=1$: $\frac{5\pi}{3} < x < \frac{7\pi}{3}$, что на $[0, 2\pi)$ дает $(\frac{5\pi}{3}, 2\pi)$.Итого: $[0, \frac{\pi}{3}) \cup (\frac{5\pi}{3}, 2\pi)$.

Теперь найдем пересечение этих двух множеств: $((0, \frac{\pi}{4}] \cup (\pi, \frac{5\pi}{4}]) \cap ([0, \frac{\pi}{3}) \cup (\frac{5\pi}{3}, 2\pi))$.

Пересечение $(0, \frac{\pi}{4}]$ с $[0, \frac{\pi}{3})$ равно $(0, \frac{\pi}{4}]$, так как $\frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{3}$.

Интервал $(\pi, \frac{5\pi}{4}]$ не пересекается ни с $[0, \frac{\pi}{3})$, ни с $(\frac{5\pi}{3}, 2\pi)$, так как $\pi > \frac{\pi}{3}$ и $\frac{5\pi}{4} < \frac{5\pi}{3}$.

Таким образом, решение системы на промежутке $[0, 2\pi)$ есть интервал $(0, \frac{\pi}{4}]$.

Поскольку общее решение системы должно быть периодическим с периодом $2\pi$, мы добавляем $2\pi k$ к концам найденного интервала.

Ответ: $2\pi k < x \le \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.