Номер 29, страница 176, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

29. (2)

$\begin{cases} \cos x \ge \frac{\sqrt{2}}{2}, \\ \sin x \ge \frac{\sqrt{2}}{2}. \end{cases}$

Для решения данной системы тригонометрических неравенств необходимо найти множество значений $x$, удовлетворяющих каждому неравенству, а затем найти пересечение этих множеств.

Сначала решим первое неравенство: $cos(x) \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Найдём значения $x$, для которых $cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это $x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
На тригонометрической окружности косинус — это абсцисса точки. Условию $cos(x) \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$ удовлетворяют все точки, абсцисса которых больше или равна $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Эти точки лежат на дуге, заключённой между углами $-\frac{\pi}{4}$ и $\frac{\pi}{4}$.
Таким образом, решение первого неравенства: $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь решим второе неравенство: $sin(x) \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Найдём значения $x$, для которых $sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ и $x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
На тригонометрической окружности синус — это ордината точки. Условию $sin(x) \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$ удовлетворяют все точки, ордината которых больше или равна $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Эти точки лежат на дуге, заключённой между углами $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{3\pi}{4}$.
Таким образом, решение второго неравенства: $\frac{\pi}{4} + 2\pi k \le x \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдём пересечение решений. Мы ищем значения $x$, которые одновременно удовлетворяют двум условиям:
1) $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
2) $\frac{\pi}{4} + 2\pi k \le x \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$
Единственная точка, которая принадлежит обоим отрезкам, — это их общая граница $x = \frac{\pi}{4}$. Для любого целого $k$ эта точка будет общей для обоих множеств решений.
Проверим эту точку: $cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (условие $\ge \frac{\sqrt{2}}{2}$ выполняется) и $sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (условие $\ge \frac{\sqrt{2}}{2}$ выполняется). Любая другая точка из одного интервала не попадает в другой. Например, для точки чуть больше $\frac{\pi}{4}$ (из второго интервала) косинус будет меньше $\frac{\sqrt{2}}{2}$. А для точки чуть меньше $\frac{\pi}{4}$ (из первого интервала) синус будет меньше $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.