Номер 27, страница 175, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

27. (1)

$\begin{cases} \operatorname{tg} x \le 0, \\ \sin x < -\frac{\sqrt{3}}{2}. \end{cases}$

27. (1)

Решим систему тригонометрических неравенств:

$$ \begin{cases} \tg x \le 0, \\ \sin x < -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $ \tg x \le 0 $

Функция тангенса является отрицательной во второй ($ \frac{\pi}{2} < x < \pi $) и четвертой ($ -\frac{\pi}{2} < x < 0 $) четвертях координатной окружности. Тангенс равен нулю, когда $ \sin x = 0 $, то есть при $ x = \pi n $, где $ n \in Z $.

Объединяя эти условия, получаем, что решение неравенства $ \tg x \le 0 $ — это множество $ x \in (-\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi n] $, где $ n \in Z $.

2. Решим второе неравенство: $ \sin x < -\frac{\sqrt{3}}{2} $

Сначала найдем корни уравнения $ \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. На единичной окружности этому значению синуса соответствуют углы $ x = -\frac{\pi}{3} $ и $ x = -\frac{2\pi}{3} $ (или $ x = \frac{4\pi}{3} $ и $ x = \frac{5\pi}{3} $).

Неравенству $ \sin x < -\frac{\sqrt{3}}{2} $ удовлетворяют точки единичной окружности, которые лежат ниже прямой $ y = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Это дуга, заключенная между точками $ -\frac{2\pi}{3} $ и $ -\frac{\pi}{3} $.

Таким образом, решение второго неравенства: $ x \in (-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, -\frac{\pi}{3} + 2\pi k) $, где $ k \in Z $.

3. Найдем пересечение решений

Теперь необходимо найти общие решения для обоих неравенств. Воспользуемся единичной окружностью для наглядности.

Первое неравенство ($ \tg x \le 0 $) выполняется во второй и четвертой четвертях (включая точки $ x=0, \pi $).

Второе неравенство ($ \sin x < -\frac{\sqrt{3}}{2} $) выполняется на интервале $ (-\frac{2\pi}{3}, -\frac{\pi}{3}) $. Этот интервал охватывает часть третьей четверти (от $ -\frac{2\pi}{3} $ до $ -\frac{\pi}{2} $) и часть четвертой четверти (от $ -\frac{\pi}{2} $ до $ -\frac{\pi}{3} $).

Общее решение должно удовлетворять обоим условиям. Тангенс в третьей четверти положителен, поэтому эта часть интервала $ (-\frac{2\pi}{3}, -\frac{\pi}{2}) $ не является решением. Нам подходит только та часть, где тангенс отрицателен, то есть часть, лежащая в четвертой четверти.

Искомое решение — это пересечение множеств $ x \in (-\frac{\pi}{2}, 0] $ (решение первого неравенства в четвертой четверти) и $ x \in (-\frac{2\pi}{3}, -\frac{\pi}{3}) $ (решение второго неравенства).

Пересечением этих двух интервалов является интервал $ (-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{3}) $. Точка $ x = -\frac{\pi}{2} $ не включается, так как в ней тангенс не определен.

Добавляя период $ 2\pi k $ (поскольку период решения для синуса равен $ 2\pi $), получаем общее решение системы.

Ответ: $ x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, -\frac{\pi}{3} + 2\pi k) $, где $ k \in Z $.