Номер 28, страница 176, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

28. (1)

$\begin{cases} \text{tg}x \geq 1, \\ \text{sin}x > \frac{\sqrt{3}}{2}. \end{cases}$

Решим первое неравенство системы: $tg(x) \ge 1$

Сначала найдем корни уравнения $tg(x) = 1$. Главное значение $x = arctg(1) = \frac{\pi}{4}$. В силу периодичности функции тангенс (период равен $\pi$), все решения уравнения имеют вид $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.Функция $y = tg(x)$ является возрастающей на каждом интервале своей области определения $(-\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$. Таким образом, неравенство $tg(x) \ge 1$ выполняется на промежутках от $\frac{\pi}{4}$ (включительно, так как неравенство нестрогое) до асимптоты $\frac{\pi}{2}$ (не включительно, так как в этой точке тангенс не определен).Следовательно, решение первого неравенства: $\frac{\pi}{4} + \pi n \le x < \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

Решим второе неравенство системы: $sin(x) > \frac{\sqrt{3}}{2}$

Сначала найдем корни уравнения $sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. На отрезке $[0, 2\pi]$ этому уравнению удовлетворяют два значения: $x_1 = arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$ и $x_2 = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.Неравенство $sin(x) > \frac{\sqrt{3}}{2}$ строгое, поэтому его решениями на единичной окружности будут углы, лежащие строго между $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{2\pi}{3}$.Учитывая периодичность функции синус (период равен $2\pi$), получаем общее решение второго неравенства: $\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{2\pi}{3} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем пересечение решений системы

Теперь необходимо найти общие решения для двух неравенств. Для этого найдем пересечение полученных множеств решений. Период всей системы равен НОК($\pi$, $2\pi$) = $2\pi$. Найдем решение на отрезке $[0, 2\pi)$, а затем обобщим его.

На отрезке $[0, 2\pi)$ решения первого неравенства (при $n=0$ и $n=1$) — это интервалы $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$ и $[\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2})$.

Решение второго неравенства (при $k=0$) — это интервал $(\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3})$.

Ищем пересечение: $([\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}) \cup [\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2})) \cap (\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3})$.

1. Пересечение $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$ и $(\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3})$. Так как $\frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3}$, их пересечением будет интервал $(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2})$.

2. Пересечение $[\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2})$ и $(\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3})$. Эти интервалы не пересекаются. Интервал $[\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2})$ находится в третьей координатной четверти, где синус отрицателен, в то время как неравенство $sin(x) > \frac{\sqrt{3}}{2}$ требует положительного значения синуса.

Следовательно, на отрезке $[0, 2\pi)$ решением системы является интервал $(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2})$.

Добавляя период $2\pi$, получаем общее решение системы.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.