Номер 22, страница 175, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

22. (1)

$ \begin{cases} \operatorname{tg}x \ge \sqrt{3}, \\ \cos x < \frac{1}{2}. \end{cases} $

Для решения данной системы тригонометрических неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

Решение неравенства $tg x \ge \sqrt{3}$

Сначала найдем значения $x$, для которых $tg x = \sqrt{3}$. Основное решение этого уравнения - $x = \frac{\pi}{3}$. С учетом периода тангенса ($\pi$), все решения уравнения имеют вид $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.Функция $y = tg x$ является возрастающей на своих областях определения $(-\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$. Поэтому решение неравенства $tg x \ge \sqrt{3}$ будет находиться на промежутках от $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$ (включительно) до вертикальных асимптот $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ (не включительно).
Ответ: $\frac{\pi}{3} + \pi n \le x < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Решение неравенства $cos x < \frac{1}{2}$

Найдем значения $x$, для которых $cos x = \frac{1}{2}$. На промежутке $[0, 2\pi]$ это $x = \frac{\pi}{3}$ и $x = \frac{5\pi}{3}$. С учетом периода косинуса ($2\pi$), все решения уравнения имеют вид $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.На тригонометрической окружности значения косинуса меньше $\frac{1}{2}$ соответствуют дуге, расположенной строго между $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{5\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Нахождение общего решения системы

Теперь найдем пересечение множеств решений обоих неравенств. Для наглядности рассмотрим их на тригонометрической окружности в пределах одного периода $[0, 2\pi]$.
Решение первого неравенства на этом отрезке: $[\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}) \cup [\frac{4\pi}{3}, \frac{3\pi}{2})$.
Решение второго неравенства на этом отрезке: $(\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3})$.
Найдем пересечение этих двух множеств:
а) Пересечение $[\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2})$ с $(\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3})$ дает интервал $(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2})$. Точка $x = \frac{\pi}{3}$ исключается, так как для нее $cos x = \frac{1}{2}$, что не удовлетворяет второму неравенству.
б) Пересечение $[\frac{4\pi}{3}, \frac{3\pi}{2})$ с $(\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3})$ дает сам промежуток $[\frac{4\pi}{3}, \frac{3\pi}{2})$, так как он полностью содержится во втором интервале.
Объединяя полученные интервалы и учитывая общую периодичность $2\pi$, получаем итоговое решение системы.
Ответ: $x \in \left(\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k\right) \cup \left[\frac{4\pi}{3} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\right), k \in \mathbb{Z}$.