Номер 26, страница 175, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

26. (1)

$\begin{cases} \text{ctg } x \le 1, \\ \text{sin } x > -\frac{\sqrt{3}}{2}. \end{cases}$

Решим данную систему тригонометрических неравенств, рассмотрев каждое неравенство по отдельности.

1. Решим первое неравенство: $ctg x \le 1$.

Сначала найдём решения уравнения $ctg x = 1$. Корни этого уравнения: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Функция $ctg x$ имеет период $\pi$ и является убывающей на каждом интервале своей области определения $(\pi k, \pi(k+1))$, где $k \in \mathbb{Z}$. Следовательно, неравенство $ctg x \le 1$ будет выполняться на интервалах, начинающихся с найденных корней и заканчивающихся в точке разрыва.

Таким образом, решение первого неравенства: $x \in [\frac{\pi}{4} + \pi n, \pi + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

2. Решим второе неравенство: $\sin x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Сначала найдём решения уравнения $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Корни этого уравнения: $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$ и $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Используя тригонометрическую окружность, определим, что значения $\sin x$ больше $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ на дуге, расположенной выше прямой $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Эта дуга соответствует интервалу от $-\frac{\pi}{3}$ до $\frac{4\pi}{3}$.

Таким образом, решение второго неравенства: $x \in (-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{4\pi}{3} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

3. Найдём пересечение решений обоих неравенств.

Для наглядности найдём пересечение на одном периоде длиной $2\pi$, например, на интервале $[0, 2\pi)$.

Решение первого неравенства на $[0, 2\pi)$ состоит из двух интервалов (для $n=0$ и $n=1$): $[\frac{\pi}{4}, \pi) \cup [\frac{5\pi}{4}, 2\pi)$.

Решение второго неравенства на $[0, 2\pi)$ (для $n=0$ и $n=1$) соответствует множеству: $[0, \frac{4\pi}{3}) \cup (\frac{5\pi}{3}, 2\pi)$.

Найдём пересечение этих двух множеств:

$( [\frac{\pi}{4}, \pi) \cup [\frac{5\pi}{4}, 2\pi) ) \cap ( [0, \frac{4\pi}{3}) \cup (\frac{5\pi}{3}, 2\pi) )$

Пересекая соответствующие части, получаем три интервала:

• $[\frac{\pi}{4}, \pi) \cap [0, \frac{4\pi}{3}) = [\frac{\pi}{4}, \pi)$

• $[\frac{5\pi}{4}, 2\pi) \cap [0, \frac{4\pi}{3}) = [\frac{5\pi}{4}, \frac{4\pi}{3})$

• $[\frac{5\pi}{4}, 2\pi) \cap (\frac{5\pi}{3}, 2\pi) = (\frac{5\pi}{3}, 2\pi)$

Объединяя эти интервалы, получаем решение на промежутке $[0, 2\pi)$: $x \in [\frac{\pi}{4}, \pi) \cup [\frac{5\pi}{4}, \frac{4\pi}{3}) \cup (\frac{5\pi}{3}, 2\pi)$.

Обобщая это решение с учётом периода $2\pi$, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \pi + 2\pi n) \cup [\frac{5\pi}{4} + 2\pi n, \frac{4\pi}{3} + 2\pi n) \cup (\frac{5\pi}{3} + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.