Номер 20, страница 175, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

20. (1)

$\begin{cases} \text{tg }x \ge 0, \\ \cos x < -\frac{\sqrt{3}}{2}. \end{cases}$

Решим данную систему тригонометрических неравенств:

$\begin{cases} \tg x \ge 0, \\ \cos x < -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$

Сначала решим первое неравенство: $\tg x \ge 0$.

Функция тангенса является неотрицательной в первой и третьей координатных четвертях. Решение этого неравенства можно записать в виде серии промежутков:

$\pi k \le x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

На тригонометрической окружности это соответствует дугам $[0, \frac{\pi}{2})$ и $[\pi, \frac{3\pi}{2})$.

Далее решим второе неравенство: $\cos x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Найдем значения $x$, для которых $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. На интервале $[0, 2\pi)$ это $x = \frac{5\pi}{6}$ и $x = \frac{7\pi}{6}$.

Неравенство $\cos x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ выполняется для углов, которые на тригонометрической окружности лежат на дуге между точками $\frac{5\pi}{6}$ и $\frac{7\pi}{6}$.

Таким образом, решение второго неравенства имеет вид:

$\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь необходимо найти пересечение решений обоих неравенств. Для наглядности рассмотрим решения на одном обороте тригонометрической окружности, то есть на промежутке $[0, 2\pi)$.

Решение первого неравенства: $x \in [0, \frac{\pi}{2}) \cup [\pi, \frac{3\pi}{2})$.

Решение второго неравенства: $x \in (\frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6})$.

Найдем пересечение этих множеств. Пересечение множества $(\frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6})$ с первым промежутком $[0, \frac{\pi}{2})$ является пустым, так как $\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{6}$ меньше чем $\frac{5\pi}{6}$.

Найдем пересечение множества $(\frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6})$ со вторым промежутком $[\pi, \frac{3\pi}{2})$.

Общая часть этих двух интервалов — это $[\pi, \frac{7\pi}{6})$.

Проверим граничные точки. Точка $x = \pi$ включается в решение, так как $\tg(\pi) = 0$, что удовлетворяет условию $\tg x \ge 0$, и $\cos(\pi) = -1$, что удовлетворяет условию $\cos x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Точка $x = \frac{7\pi}{6}$ не включается в решение, так как неравенство $\cos x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ является строгим, а при $x = \frac{7\pi}{6}$ имеем $\cos(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Итак, на одном обороте решение системы — это промежуток $[\pi, \frac{7\pi}{6})$.

Учитывая периодичность тригонометрических функций ($2\pi$), общее решение системы неравенств записывается как:

$\pi + 2\pi k \le x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\pi + 2\pi k; \frac{7\pi}{6} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.