Номер 13, страница 175, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

13. (2)

$$\begin{cases}\text{tg}x < \sqrt{3}, \\\cos x \ge \frac{1}{2}.\end{cases}$$

Для решения системы неравенств $$ \begin{cases} \text{tg } x < \sqrt{3}, \\ \cos x \ge \frac{1}{2} \end{cases} $$ найдем решения для каждого неравенства отдельно, а затем определим их пересечение.

Сначала решим неравенство $\text{tg } x < \sqrt{3}$. Функция тангенса имеет период $\pi$ и возрастает на каждом из своих интервалов определения $(-\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$. Уравнение $\text{tg } x = \sqrt{3}$ имеет решение $x = \text{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$. Следовательно, на основном интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ неравенство $\text{tg } x < \sqrt{3}$ выполняется для $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3})$. Общее решение первого неравенства имеет вид: $-\frac{\pi}{2} + \pi k < x < \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Теперь решим второе неравенство: $\cos x \ge \frac{1}{2}$. Функция косинуса имеет период $2\pi$. Уравнение $\cos x = \frac{1}{2}$ имеет решения $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Используя тригонометрическую окружность, видим, что косинус (абсцисса точки на окружности) больше или равен $\frac{1}{2}$ на дуге от $-\frac{\pi}{3}$ до $\frac{\pi}{3}$. Таким образом, решение второго неравенства: $-\frac{\pi}{3} + 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Для нахождения решения системы найдем пересечение полученных множеств решений. Удобно сделать это на тригонометрической окружности или на числовой прямой для одного периода. Возьмем основной период $[-\pi, \pi]$.

Множество решений первого неравенства на этом отрезке состоит из объединения интервалов, например $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3})$.

Множество решений второго неравенства на этом отрезке: $[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}]$.

Пересечение этих двух множеств на рассматриваемом промежутке: $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3}) \cap [-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}] = [-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3})$.

Это решение для одного периода. Чтобы получить общее решение, добавим период $2\pi$ к границам найденного интервала.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{\pi}{3} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.