Номер 12, страница 175, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

12. (2)

$\begin{cases} \sin x \ge \frac{\sqrt{3}}{2}, \\ \operatorname{ctg} x > \frac{\sqrt{3}}{3}. \end{cases}$

Для решения системы неравенств необходимо найти множество значений $x$, удовлетворяющих каждому неравенству в отдельности, а затем найти пересечение этих множеств.

1. Решим первое неравенство: $\sin x \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$

Сначала решим уравнение $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. На тригонометрической окружности этому значению соответствуют углы $x_1 = \frac{\pi}{3}$ и $x_2 = \frac{2\pi}{3}$.

Неравенству $\sin x \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$ удовлетворяют все углы, находящиеся на дуге единичной окружности, заключенной между точками $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{2\pi}{3}$ (включая концы). Учитывая периодичность функции синус (период $2\pi$), общее решение первого неравенства будет:

$\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Решим второе неравенство: $\operatorname{ctg} x > \frac{\sqrt{3}}{3}$

Сначала решим уравнение $\operatorname{ctg} x = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Этому значению соответствует угол $x = \frac{\pi}{3}$.

Область определения котангенса — все действительные числа, кроме $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Функция $\operatorname{ctg} x$ является периодической с периодом $\pi$ и убывающей на каждом интервале своей области определения $(\pi n, \pi + \pi n)$.

Неравенство $\operatorname{ctg} x > \frac{\sqrt{3}}{3}$ выполняется для углов, которые лежат в интервале от вертикальной асимптоты (где котангенс не определен) до точки, в которой $\operatorname{ctg} x = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Таким образом, решение второго неравенства:

$\pi n < x < \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3. Найдем пересечение решений

Теперь найдем множество значений $x$, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно. Для этого рассмотрим пересечение полученных решений на одном периоде, например, на отрезке $[0, 2\pi]$.

Решение первого неравенства на $[0, 2\pi]$ (при $k=0$): $x \in \left[\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\right]$.

Решение второго неравенства на $[0, 2\pi]$ (при $n=0$ и $n=1$):

• При $n=0$: $x \in \left(0, \frac{\pi}{3}\right)$
• При $n=1$: $x \in \left(\pi, \frac{4\pi}{3}\right)$

Объединяя, получаем $x \in \left(0, \frac{\pi}{3}\right) \cup \left(\pi, \frac{4\pi}{3}\right)$.

Найдем пересечение множеств $\left[\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\right]$ и $\left( \left(0, \frac{\pi}{3}\right) \cup \left(\pi, \frac{4\pi}{3}\right) \right)$.

Интервал $\left[\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\right]$ начинается с точки $x=\frac{\pi}{3}$, в то время как интервал $\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ заканчивается перед этой точкой, не включая ее. Следовательно, их пересечение пусто.

Интервал $\left[\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\right]$ заканчивается в точке $x=\frac{2\pi}{3}$, а интервал $\left(\pi, \frac{4\pi}{3}\right)$ начинается с точки $x=\pi$. Так как $\frac{2\pi}{3} < \pi$, эти интервалы не пересекаются.

Поскольку на промежутке $[0, 2\pi]$ пересечение множеств решений пусто, и оба решения периодичны, то и на всей числовой прямой общих решений нет.

Ответ: $x \in \emptyset$ (решений нет).