Номер 9, страница 174, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

9. (2)

$ \begin{cases} \cos x \geq \frac{1}{2}, \\ \sin x \geq \frac{\sqrt{3}}{2}. \end{cases} $

9. (2)

Для решения данной системы тригонометрических неравенств необходимо найти множество значений $x$, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно. Рассмотрим каждое неравенство по отдельности.

1. Решение первого неравенства: $ \cos x \ge \frac{1}{2} $

Сначала найдем корни уравнения $ \cos x = \frac{1}{2} $. На основном промежутке $ [-\pi, \pi] $ это $ x = -\frac{\pi}{3} $ и $ x = \frac{\pi}{3} $. Используя тригонометрическую окружность, мы видим, что косинус (абсцисса точки на окружности) больше или равен $ \frac{1}{2} $ для углов, расположенных в промежутке от $ -\frac{\pi}{3} $ до $ \frac{\pi}{3} $. Учитывая периодичность функции косинуса, которая равна $ 2\pi $, общее решение первого неравенства будет:

$ -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{3} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

2. Решение второго неравенства: $ \sin x \ge \frac{\sqrt{3}}{2} $

Сначала найдем корни уравнения $ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} $. На основном промежутке $ [0, 2\pi] $ это $ x = \frac{\pi}{3} $ и $ x = \frac{2\pi}{3} $. Используя тригонометрическую окружность, мы видим, что синус (ордината точки на окружности) больше или равен $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ для углов, расположенных в промежутке от $ \frac{\pi}{3} $ до $ \frac{2\pi}{3} $. Учитывая периодичность функции синуса, которая также равна $ 2\pi $, общее решение второго неравенства будет:

$ \frac{\pi}{3} + 2\pi n \le x \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

3. Нахождение общего решения системы

Теперь нам нужно найти пересечение полученных множеств решений. Необходимо, чтобы $x$ удовлетворял обоим условиям:

$ \begin{cases} -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{3} + 2\pi k \\ \frac{\pi}{3} + 2\pi n \le x \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \end{cases} $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.

Для нахождения пересечения удобно рассмотреть решения на одном витке тригонометрической окружности, например, при $ k=n=0 $.

Первое множество решений: $ x \in [-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}] $.

Второе множество решений: $ x \in [\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}] $.

Пересечением этих двух отрезков является единственная точка $ x = \frac{\pi}{3} $, так как эта точка является правым концом первого отрезка и левым концом второго.

Поскольку период обоих исходных неравенств равен $ 2\pi $, то и решение системы будет повторяться с тем же периодом. Таким образом, общее решение системы — это все точки, которые получаются из $ \frac{\pi}{3} $ прибавлением целого числа периодов $ 2\pi $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.