Номер 7, страница 174, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

7. (1)

$\begin{cases} \sin x \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}, \\ \cos x \ge \frac{1}{2}. \end{cases}$

Решим данную систему тригонометрических неравенств. Для наглядности будем использовать единичную тригонометрическую окружность.

$$\begin{cases} \sin x \ge -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos x \ge \frac{1}{2}\end{cases}$$

Шаг 1: Решение неравенства $\sin x \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Значение синуса угла $x$ соответствует ординате (координате $y$) точки на единичной окружности. Нам нужно найти все углы $x$, для которых ордината точки на окружности не меньше $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Сначала найдем углы, для которых $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. На промежутке $[-\pi, \pi]$ это углы $x = -\frac{\pi}{3}$ и $x = -\frac{2\pi}{3}$. На промежутке $[0, 2\pi]$ это $x = \frac{4\pi}{3}$ и $x = \frac{5\pi}{3}$.

Неравенству $\sin x \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$ соответствуют точки на дуге окружности, лежащие выше прямой $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Эта дуга начинается в точке, соответствующей углу $-\frac{\pi}{3}$ (или $\frac{5\pi}{3}$), и, двигаясь против часовой стрелки, заканчивается в точке, соответствующей углу $\frac{4\pi}{3}$.

Решение этого неравенства с учётом периодичности функции синус можно записать в виде:$x \in [-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{4\pi}{3} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Шаг 2: Решение неравенства $\cos x \ge \frac{1}{2}$

Значение косинуса угла $x$ соответствует абсциссе (координате $x$) точки на единичной окружности. Нам нужно найти все углы $x$, для которых абсцисса точки на окружности не меньше $\frac{1}{2}$.

Сначала найдем углы, для которых $\cos x = \frac{1}{2}$. На промежутке $[-\pi, \pi]$ это углы $x = -\frac{\pi}{3}$ и $x = \frac{\pi}{3}$.

Неравенству $\cos x \ge \frac{1}{2}$ соответствуют точки на дуге окружности, лежащие правее прямой $x = \frac{1}{2}$. Эта дуга начинается в точке $-\frac{\pi}{3}$ и заканчивается в точке $\frac{\pi}{3}$ при движении против часовой стрелки.

Решение этого неравенства с учётом периодичности функции косинус:$x \in [-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{3} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Шаг 3: Нахождение пересечения решений

Для решения системы необходимо найти пересечение множеств решений обоих неравенств. Отметим оба решения на единичной окружности.

Первое множество: $x \in [-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{4\pi}{3} + 2\pi k]$

Второе множество: $x \in [-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{3} + 2\pi k]$

Общая часть (пересечение) этих двух множеств — это интервал, который начинается в общей начальной точке $-\frac{\pi}{3}$ и заканчивается в наименьшей из конечных точек, то есть в $\frac{\pi}{3}$.

Таким образом, решением системы является:$x \in [-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{3} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{3} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.