Номер 10, страница 171, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

10. (2)

а) $\tg x > 100$;

б) $\tg 20x > -20$;

в) $\tg \frac{5x}{8} < \frac{5}{8}$;

г) $\tg \left(11x + \frac{\pi}{4}\right) + 100 \le 0$;

д) $\tg \left(x + \frac{9\pi}{4}\right) \le \pi$.

а) Решим неравенство $tg(x) > 100$.

Общее решение неравенства вида $tg(t) > a$ имеет вид $arctg(a) + \pi n < t < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $t = x$ и $a = 100$.

Подставляя эти значения, получаем решение:

$arctg(100) + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (arctg(100) + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

б) Решим неравенство $tg(20x) > -20$.

Пусть $t = 20x$. Неравенство принимает вид $tg(t) > -20$.

Решение этого неравенства: $arctg(-20) + \pi n < t < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Используя свойство арктангенса $arctg(-a) = -arctg(a)$, получаем:

$-arctg(20) + \pi n < t < \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Теперь произведем обратную замену $t = 20x$:

$-arctg(20) + \pi n < 20x < \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Разделим все части неравенства на 20, чтобы найти $x$:

$\frac{-arctg(20) + \pi n}{20} < x < \frac{\frac{\pi}{2} + \pi n}{20}$

$-\frac{arctg(20)}{20} + \frac{\pi n}{20} < x < \frac{\pi}{40} + \frac{\pi n}{20}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{arctg(20)}{20} + \frac{\pi n}{20}; \frac{\pi}{40} + \frac{\pi n}{20})$, $n \in \mathbb{Z}$.

в) Решим неравенство $tg(\frac{5x}{8}) < \frac{5}{8}$.

Общее решение неравенства вида $tg(t) < a$ имеет вид $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t < arctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $t = \frac{5x}{8}$ и $a = \frac{5}{8}$.

Подставляем эти значения в общее решение:

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < \frac{5x}{8} < arctg(\frac{5}{8}) + \pi n$.

Чтобы выразить $x$, умножим все части неравенства на $\frac{8}{5}$:

$(-\frac{\pi}{2} + \pi n) \cdot \frac{8}{5} < x < (arctg(\frac{5}{8}) + \pi n) \cdot \frac{8}{5}$

$-\frac{4\pi}{5} + \frac{8\pi n}{5} < x < \frac{8}{5}arctg(\frac{5}{8}) + \frac{8\pi n}{5}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{4\pi}{5} + \frac{8\pi n}{5}; \frac{8}{5}arctg(\frac{5}{8}) + \frac{8\pi n}{5})$, $n \in \mathbb{Z}$.

г) Решим неравенство $tg(11x + \frac{\pi}{4}) + 100 \le 0$.

Сначала преобразуем неравенство:

$tg(11x + \frac{\pi}{4}) \le -100$.

Общее решение неравенства вида $tg(t) \le a$ имеет вид $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t \le arctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = 11x + \frac{\pi}{4}$ и $a = -100$.

Подставляем значения:

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < 11x + \frac{\pi}{4} \le arctg(-100) + \pi n$.

Используя свойство $arctg(-a) = -arctg(a)$, получаем:

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < 11x + \frac{\pi}{4} \le -arctg(100) + \pi n$.

Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из всех частей неравенства:

$-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi n < 11x \le -arctg(100) - \frac{\pi}{4} + \pi n$

$-\frac{3\pi}{4} + \pi n < 11x \le -arctg(100) - \frac{\pi}{4} + \pi n$.

Теперь разделим все части на 11:

$\frac{-\frac{3\pi}{4} + \pi n}{11} < x \le \frac{-arctg(100) - \frac{\pi}{4} + \pi n}{11}$

$-\frac{3\pi}{44} + \frac{\pi n}{11} < x \le -\frac{arctg(100)}{11} - \frac{\pi}{44} + \frac{\pi n}{11}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{3\pi}{44} + \frac{\pi n}{11}; -\frac{arctg(100)}{11} - \frac{\pi}{44} + \frac{\pi n}{11}]$, $n \in \mathbb{Z}$.

д) Решим неравенство $tg(x + \frac{9\pi}{4}) \le \pi$.

Сначала упростим аргумент тангенса, используя его периодичность с периодом $\pi$. Заметим, что $\frac{9\pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4}$.

$tg(x + \frac{9\pi}{4}) = tg(x + \frac{\pi}{4} + 2\pi) = tg(x + \frac{\pi}{4})$.

Неравенство принимает вид: $tg(x + \frac{\pi}{4}) \le \pi$.

Общее решение неравенства вида $tg(t) \le a$ имеет вид $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t \le arctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $t = x + \frac{\pi}{4}$ и $a = \pi$.

Подставляем значения:

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x + \frac{\pi}{4} \le arctg(\pi) + \pi n$.

Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из всех частей неравенства, чтобы выразить $x$:

$-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi n < x \le arctg(\pi) - \frac{\pi}{4} + \pi n$

$-\frac{3\pi}{4} + \pi n < x \le arctg(\pi) - \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{3\pi}{4} + \pi n; arctg(\pi) - \frac{\pi}{4} + \pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.