Номер 7, страница 170, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

7. (2)

a) $ \operatorname{tg} x > 1; $

б) $ \operatorname{tg} 10x \ge -1; $

в) $ \operatorname{tg} \frac{x}{8} < -1; $

г) $ \operatorname{tg} \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \le 1; $

д) $ \operatorname{tg} \left( \frac{4x}{5} + \frac{5\pi}{4} \right) \le -1. $

а)

Решим неравенство $tg(x) > 1$.

Область определения тангенса: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Решением неравенства $tg(t) > a$ является интервал $\text{arctg}(a) + \pi n < t < \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $t = x$ и $a = 1$.

Найдем арктангенс от 1: $\text{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.

Подставляем значения в общую формулу решения:

$\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

б)

Решим неравенство $tg(10x) \geq -1$.

Область определения: $10x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, т.е. $x \neq \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{10}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Решением неравенства $tg(t) \geq a$ является промежуток $\text{arctg}(a) + \pi n \leq t < \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Пусть $t = 10x$, тогда $a = -1$.

Найдем арктангенс от -1: $\text{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.

Подставляем в общую формулу:

$-\frac{\pi}{4} + \pi n \leq 10x < \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Разделим все части неравенства на 10, чтобы найти $x$:

$-\frac{\pi}{40} + \frac{\pi n}{10} \leq x < \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{10}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{40} + \frac{\pi n}{10}; \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{10})$, $n \in \mathbb{Z}$.

в)

Решим неравенство $tg(\frac{x}{8}) < -1$.

Область определения: $\frac{x}{8} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, т.е. $x \neq 4\pi + 8\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Решением неравенства $tg(t) < a$ является интервал $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t < \text{arctg}(a) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Пусть $t = \frac{x}{8}$, тогда $a = -1$.

$\text{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.

Подставляем в общую формулу:

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < \frac{x}{8} < -\frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Умножим все части неравенства на 8, чтобы найти $x$:

$-4\pi + 8\pi n < x < -2\pi + 8\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-4\pi + 8\pi n; -2\pi + 8\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

г)

Решим неравенство $tg(x + \frac{\pi}{4}) \leq 1$.

Область определения: $x + \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, т.е. $x \neq \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Решением неравенства $tg(t) \leq a$ является промежуток $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t \leq \text{arctg}(a) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Пусть $t = x + \frac{\pi}{4}$, тогда $a = 1$.

$\text{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.

Подставляем в общую формулу:

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x + \frac{\pi}{4} \leq \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из всех частей неравенства:

$-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi n < x \leq \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi n$.

$-\frac{3\pi}{4} + \pi n < x \leq \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{3\pi}{4} + \pi n; \pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

д)

Решим неравенство $tg(\frac{4x}{5} + \frac{5\pi}{4}) \leq -1$.

Область определения: $\frac{4x}{5} + \frac{5\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Решением неравенства $tg(t) \leq a$ является промежуток $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t \leq \text{arctg}(a) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Пусть $t = \frac{4x}{5} + \frac{5\pi}{4}$, тогда $a = -1$.

$\text{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.

Подставляем в общую формулу:

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < \frac{4x}{5} + \frac{5\pi}{4} \leq -\frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Вычтем $\frac{5\pi}{4}$ из всех частей неравенства:

$-\frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{4} + \pi n < \frac{4x}{5} \leq -\frac{\pi}{4} - \frac{5\pi}{4} + \pi n$.

$-\frac{2\pi}{4} - \frac{5\pi}{4} + \pi n < \frac{4x}{5} \leq -\frac{6\pi}{4} + \pi n$.

$-\frac{7\pi}{4} + \pi n < \frac{4x}{5} \leq -\frac{3\pi}{2} + \pi n$.

Умножим все части неравенства на $\frac{5}{4}$:

$\frac{5}{4} \cdot (-\frac{7\pi}{4} + \pi n) < x \leq \frac{5}{4} \cdot (-\frac{3\pi}{2} + \pi n)$.

$-\frac{35\pi}{16} + \frac{5\pi n}{4} < x \leq -\frac{15\pi}{8} + \frac{5\pi n}{4}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{35\pi}{16} + \frac{5\pi n}{4}; -\frac{15\pi}{8} + \frac{5\pi n}{4}]$, $n \in \mathbb{Z}$.