Номер 9, страница 171, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

9. (2) a) $ctg x > -\\frac{\\sqrt{3}}{3}$;

б) $ctg 3x \\geq \\frac{\\sqrt{3}}{3}$;

В) $ctg \\frac{x}{8} < -\\frac{1}{\\sqrt{3}}$;

Г) $ctg \\left(x+\\frac{8}{\\pi}\\right) \\leq \\frac{1}{\\sqrt{3}}$;

Д) $ctg \\left(x-\\frac{8}{5\\pi}\\right) \\leq -\\frac{1}{\\sqrt{3}}$.

а) Решим неравенство $ctg(x) > -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Функция $y=ctg(x)$ является периодической с периодом $\pi$ и убывающей на каждом интервале своей области определения $(\pi n, \pi(n+1))$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Сначала найдем значение $x$, для которого выполняется равенство $ctg(x) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Основное решение этого уравнения: $x = arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Неравенство $ctg(x) > a$ равносильно двойному неравенству $\pi k < x < arcctg(a) + \pi k$ для любого целого $k$.

Подставляя наше значение $a = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, получаем:

$\pi n < x < \frac{2\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\pi n; \frac{2\pi}{3} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

б) Решим неравенство $ctg(3x) \geq \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Введем замену переменной $t = 3x$. Неравенство примет вид $ctg(t) \geq \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Сначала решим уравнение $ctg(t) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Основное решение: $t = arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Неравенство $ctg(t) \geq a$ равносильно двойному неравенству $\pi n < t \leq arcctg(a) + \pi n$ для любого целого $n$.

Подставляя $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$, получаем:

$\pi n < t \leq \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь выполним обратную замену $t = 3x$:

$\pi n < 3x \leq \frac{\pi}{3} + \pi n$.

Разделим все части неравенства на 3:

$\frac{\pi n}{3} < x \leq \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi n}{3}; \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}], n \in \mathbb{Z}$.

в) Решим неравенство $ctg(\frac{x}{8}) < -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Введем замену переменной $t = \frac{x}{8}$. Неравенство примет вид $ctg(t) < -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Сначала решим уравнение $ctg(t) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Основное решение: $t = arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2\pi}{3}$.

Неравенство $ctg(t) < a$ равносильно двойному неравенству $arcctg(a) + \pi n < t < \pi + \pi n$ для любого целого $n$.

Подставляя наше значение $a$, получаем:

$\frac{2\pi}{3} + \pi n < t < \pi + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $t = \frac{x}{8}$:

$\frac{2\pi}{3} + \pi n < \frac{x}{8} < \pi(n+1)$.

Умножим все части неравенства на 8:

$\frac{16\pi}{3} + 8\pi n < x < 8\pi(n+1)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{16\pi}{3} + 8\pi n; 8\pi + 8\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

г) Решим неравенство $ctg(x + \frac{8}{\pi}) \leq \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Введем замену переменной $t = x + \frac{8}{\pi}$. Неравенство примет вид $ctg(t) \leq \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Сначала решим уравнение $ctg(t) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Основное решение: $t = arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Неравенство $ctg(t) \leq a$ равносильно двойному неравенству $arcctg(a) + \pi n \leq t < \pi + \pi n$ для любого целого $n$.

Подставляя наше значение $a$, получаем:

$\frac{\pi}{3} + \pi n \leq t < \pi + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $t = x + \frac{8}{\pi}$:

$\frac{\pi}{3} + \pi n \leq x + \frac{8}{\pi} < \pi + \pi n$.

Вычтем $\frac{8}{\pi}$ из всех частей неравенства:

$\frac{\pi}{3} - \frac{8}{\pi} + \pi n \leq x < \pi - \frac{8}{\pi} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{3} - \frac{8}{\pi} + \pi n; \pi - \frac{8}{\pi} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

д) Решим неравенство $ctg(x - \frac{8}{5\pi}) \leq -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Введем замену переменной $t = x - \frac{8}{5\pi}$. Неравенство примет вид $ctg(t) \leq -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Сначала решим уравнение $ctg(t) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Основное решение: $t = arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2\pi}{3}$.

Неравенство $ctg(t) \leq a$ равносильно двойному неравенству $arcctg(a) + \pi n \leq t < \pi + \pi n$ для любого целого $n$.

Подставляя наше значение $a$, получаем:

$\frac{2\pi}{3} + \pi n \leq t < \pi + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $t = x - \frac{8}{5\pi}$:

$\frac{2\pi}{3} + \pi n \leq x - \frac{8}{5\pi} < \pi + \pi n$.

Прибавим $\frac{8}{5\pi}$ ко всем частям неравенства:

$\frac{2\pi}{3} + \frac{8}{5\pi} + \pi n \leq x < \pi + \frac{8}{5\pi} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{2\pi}{3} + \frac{8}{5\pi} + \pi n; \pi + \frac{8}{5\pi} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.