Номер 5, страница 170, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

5. (2) a) $ctg x > 121$;

б) $ctg 200x > - \frac{1}{200}$;

в) $700ctg \frac{3x}{7} < 3$;

г) $4ctg \left(x+\frac{5}{\pi}\right)-5 \le 0$;

д) $ctg\left(\frac{10x}{3}+\frac{\pi}{5}\right) \le 1000$.

а) Решим неравенство $ctg(x) > 121$.

Это простейшее тригонометрическое неравенство. Решение неравенства вида $ctg(t) > a$ находится в интервале $(\pi n, arcctg(a) + \pi n)$, где $n \in Z$. Функция $y=ctg(t)$ является убывающей на каждом интервале своей области определения.

В данном случае аргумент $t = x$ и $a = 121$.

Подставляя эти значения в общую формулу решения, получаем:

$\pi n < x < arcctg(121) + \pi n, n \in Z$.

Ответ: $x \in (\pi n; arcctg(121) + \pi n), n \in Z$.

б) Решим неравенство $ctg(200x) > -\frac{1}{200}$.

Это неравенство вида $ctg(t) > a$, где $t = 200x$ и $a = - \frac{1}{200}$.

Общее решение такого неравенства: $\pi n < t < arcctg(a) + \pi n, n \in Z$.

Подставим наши значения для $t$ и $a$:

$\pi n < 200x < arcctg(-\frac{1}{200}) + \pi n, n \in Z$.

Чтобы найти $x$, разделим все части двойного неравенства на 200:

$\frac{\pi n}{200} < x < \frac{arcctg(-\frac{1}{200})}{200} + \frac{\pi n}{200}, n \in Z$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi n}{200}; \frac{1}{200}arcctg(-\frac{1}{200}) + \frac{\pi n}{200}), n \in Z$.

в) Решим неравенство $700 ctg(\frac{3x}{7}) < 3$.

Сначала преобразуем неравенство, разделив обе части на 700, чтобы выделить тригонометрическую функцию:

$ctg(\frac{3x}{7}) < \frac{3}{700}$.

Это неравенство вида $ctg(t) < a$, где $t = \frac{3x}{7}$ и $a = \frac{3}{700}$.

Общее решение такого неравенства: $arcctg(a) + \pi n < t < \pi + \pi n, n \in Z$.

Подставим наши значения для $t$ и $a$:

$arcctg(\frac{3}{700}) + \pi n < \frac{3x}{7} < \pi + \pi n, n \in Z$.

Чтобы найти $x$, умножим все части двойного неравенства на $\frac{7}{3}$:

$\frac{7}{3}(arcctg(\frac{3}{700}) + \pi n) < x < \frac{7}{3}(\pi + \pi n), n \in Z$.

Раскроем скобки:

$\frac{7}{3}arcctg(\frac{3}{700}) + \frac{7\pi n}{3} < x < \frac{7\pi}{3} + \frac{7\pi n}{3}, n \in Z$.

Ответ: $x \in (\frac{7}{3}arcctg(\frac{3}{700}) + \frac{7\pi n}{3}; \frac{7\pi}{3} + \frac{7\pi n}{3}), n \in Z$.

г) Решим неравенство $4ctg(x + \frac{5}{\pi}) - 5 \le 0$.

Сначала преобразуем неравенство, чтобы выделить $ctg(...)$:

$4ctg(x + \frac{5}{\pi}) \le 5$

$ctg(x + \frac{5}{\pi}) \le \frac{5}{4}$.

Это нестрогое неравенство вида $ctg(t) \le a$, где $t = x + \frac{5}{\pi}$ и $a = \frac{5}{4}$.

Общее решение такого неравенства: $arcctg(a) + \pi n \le t < \pi + \pi n, n \in Z$. Неравенство нестрогое слева, так как $ctg(t)=a$ входит в решение, и строгое справа, так как в точках $\pi + \pi n$ котангенс не определен.

Подставим наши значения:

$arcctg(\frac{5}{4}) + \pi n \le x + \frac{5}{\pi} < \pi + \pi n, n \in Z$.

Чтобы найти $x$, вычтем $\frac{5}{\pi}$ из всех частей неравенства:

$arcctg(\frac{5}{4}) - \frac{5}{\pi} + \pi n \le x < \pi - \frac{5}{\pi} + \pi n, n \in Z$.

Ответ: $x \in [arcctg(\frac{5}{4}) - \frac{5}{\pi} + \pi n; \pi - \frac{5}{\pi} + \pi n), n \in Z$.

д) Решим неравенство $ctg(\frac{10x}{3} + \frac{\pi}{5}) \le 1000$.

Это нестрогое неравенство вида $ctg(t) \le a$, где $t = \frac{10x}{3} + \frac{\pi}{5}$ и $a = 1000$.

Общее решение такого неравенства: $arcctg(a) + \pi n \le t < \pi + \pi n, n \in Z$.

Подставим наши значения:

$arcctg(1000) + \pi n \le \frac{10x}{3} + \frac{\pi}{5} < \pi + \pi n, n \in Z$.

Теперь выразим $x$. Сначала вычтем $\frac{\pi}{5}$ из всех частей неравенства:

$arcctg(1000) - \frac{\pi}{5} + \pi n \le \frac{10x}{3} < \pi - \frac{\pi}{5} + \pi n, n \in Z$.

$arcctg(1000) - \frac{\pi}{5} + \pi n \le \frac{10x}{3} < \frac{4\pi}{5} + \pi n, n \in Z$.

Затем умножим все части неравенства на $\frac{3}{10}$:

$\frac{3}{10}(arcctg(1000) - \frac{\pi}{5} + \pi n) \le x < \frac{3}{10}(\frac{4\pi}{5} + \pi n), n \in Z$.

Раскроем скобки, чтобы получить окончательный вид:

$\frac{3}{10}arcctg(1000) - \frac{3\pi}{50} + \frac{3\pi n}{10} \le x < \frac{12\pi}{50} + \frac{3\pi n}{10}, n \in Z$.

Упростим дробь $\frac{12\pi}{50}$ до $\frac{6\pi}{25}$.

$\frac{3}{10}arcctg(1000) - \frac{3\pi}{50} + \frac{3\pi n}{10} \le x < \frac{6\pi}{25} + \frac{3\pi n}{10}, n \in Z$.

Ответ: $x \in [\frac{3}{10}arcctg(1000) - \frac{3\pi}{50} + \frac{3\pi n}{10}; \frac{6\pi}{25} + \frac{3\pi n}{10}), n \in Z$.