Номер 1, страница 174, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

1. (1)

$\begin{cases} tg x \le 0, \\ cos x \le \frac{1}{2}. \end{cases}$

Для решения данной системы неравенств найдем множества решений для каждого неравенства по отдельности, а затем определим их пересечение.

$tg x \le 0$

Функция тангенса, определяемая как $tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$, принимает неположительные значения (меньше или равна нулю) в следующих случаях:

1. Когда $tg x < 0$. Это происходит, если $\sin x$ и $\cos x$ имеют разные знаки, что соответствует второй и четвертой координатным четвертям.
Вторая четверть: $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \pi + 2\pi k)$.
Четвертая четверть: $x \in (\frac{3\pi}{2} + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$.

2. Когда $tg x = 0$. Это происходит, если $\sin x = 0$ (при условии, что $\cos x \ne 0$), что соответствует точкам $x = n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя эти условия и учитывая область определения тангенса ($x \ne \frac{\pi}{2} + n\pi$), получаем общее решение для первого неравенства, которое можно записать в виде $x \in (-\frac{\pi}{2} + n\pi, n\pi]$ для любого целого $n$.

$\cos x \le \frac{1}{2}$

Сначала определим, при каких значениях $x$ выполняется равенство $\cos x = \frac{1}{2}$. Общее решение этого уравнения имеет вид $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

На тригонометрической окружности косинус соответствует абсциссе точки. Неравенству $\cos x \le \frac{1}{2}$ удовлетворяют все точки на окружности, абсцисса которых меньше или равна $\frac{1}{2}$. Это соответствует дуге, заключенной между углами $\frac{\pi}{3}$ и $2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$.

Таким образом, общее решение второго неравенства: $x \in [\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{5\pi}{3} + 2\pi k]$ для любого целого $k$.

Решение системы

Теперь найдем пересечение полученных множеств решений. Для наглядности выполним это на одном периоде, например, на отрезке $[0, 2\pi]$, а затем обобщим результат.

На отрезке $[0, 2\pi]$ имеем:

• Решение $tg x \le 0$: $x \in (\frac{\pi}{2}, \pi] \cup (\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$ (а также точка $x=0$).

• Решение $\cos x \le \frac{1}{2}$: $x \in [\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}]$.

Найдем пересечение этих множеств: $(\, (\frac{\pi}{2}, \pi] \cup (\frac{3\pi}{2}, 2\pi] \,) \cap [\,\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\,]$.

Рассмотрим пересечение для каждого интервала отдельно:

1. $(\frac{\pi}{2}, \pi] \cap [\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}]$. Так как $\frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$ и $\pi < \frac{5\pi}{3}$, то пересечением является интервал $(\frac{\pi}{2}, \pi]$.

2. $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi] \cap [\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}]$. Так как $\frac{\pi}{3} < \frac{3\pi}{2} < \frac{5\pi}{3} < 2\pi$, то пересечением является интервал $(\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{3}]$.

Объединив эти два результата, получаем решение на одном обороте: $x \in (\frac{\pi}{2}, \pi] \cup (\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{3}]$.

Для получения общего решения системы необходимо добавить к границам найденных интервалов период $2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \pi + 2\pi k] \cup (\frac{3\pi}{2} + 2\pi k, \frac{5\pi}{3} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.