Номер 4, страница 170, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

4. (2)

a) $ctg x > \sqrt{3};$

б) $ctg 2x > -\sqrt{3};$

в) $ctg 6x < \sqrt{3}.$

г) $ctg \left(x + \frac{\pi}{4}\right) \le \sqrt{3};$

д) $ctg \left(\frac{9x}{4} - \frac{5\pi}{4}\right) \le \sqrt{3};$

а) $ctg \, x > \sqrt{3}$

Решим неравенство $ctg \, x > \sqrt{3}$.
Функция котангенс $y = ctg \, x$ определена для всех $x$, кроме $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Функция является убывающей на каждом интервале $( \pi n, \pi + \pi n )$. Период функции равен $\pi$.
Сначала найдем решения уравнения $ctg \, x = \sqrt{3}$.
$x = arcctg(\sqrt{3}) + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Рассмотрим решение на одном периоде, например, на интервале $(0, \pi)$. На этом интервале $ctg \, x = \sqrt{3}$ при $x = \frac{\pi}{6}$.
Поскольку функция $ctg \, x$ убывает, неравенство $ctg \, x > \sqrt{3}$ выполняется для тех $x$, которые меньше $\frac{\pi}{6}$, но больше, чем левая граница области определения (асимптота $x=0$).
Таким образом, на интервале $(0, \pi)$ решение будет $0 < x < \frac{\pi}{6}$.
Учитывая периодичность, общее решение неравенства:
$\pi n < x < \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (\pi n, \frac{\pi}{6} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

б) $ctg \, 2x > -\sqrt{3}$

Пусть $t = 2x$. Неравенство принимает вид $ctg \, t > -\sqrt{3}$.
Найдем решение уравнения $ctg \, t = -\sqrt{3}$.
$t = arcctg(-\sqrt{3}) + \pi n = \frac{5\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
На интервале $(0, \pi)$ функция $ctg \, t$ убывает. Неравенство $ctg \, t > -\sqrt{3}$ выполняется, когда $t$ находится между левой асимптотой $t=0$ и значением $t = \frac{5\pi}{6}$.
Таким образом, $0 < t < \frac{5\pi}{6}$.
Общее решение для $t$: $\pi n < t < \frac{5\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Сделаем обратную замену $t = 2x$:
$\pi n < 2x < \frac{5\pi}{6} + \pi n$.
Разделим все части неравенства на 2:
$\frac{\pi n}{2} < x < \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (\frac{\pi n}{2}, \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}), n \in \mathbb{Z}$.

в) $ctg \, 6x < \sqrt{3}$

Пусть $t = 6x$. Неравенство принимает вид $ctg \, t < \sqrt{3}$.
Найдем решение уравнения $ctg \, t = \sqrt{3}$.
$t = arcctg(\sqrt{3}) + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
На интервале $(0, \pi)$ функция $ctg \, t$ убывает. Неравенство $ctg \, t < \sqrt{3}$ выполняется, когда $t$ больше $\frac{\pi}{6}$ и меньше правой асимптоты $t=\pi$.
Таким образом, $\frac{\pi}{6} < t < \pi$.
Общее решение для $t$: $\frac{\pi}{6} + \pi n < t < \pi + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Сделаем обратную замену $t = 6x$:
$\frac{\pi}{6} + \pi n < 6x < \pi + \pi n$.
Разделим все части неравенства на 6:
$\frac{\pi}{36} + \frac{\pi n}{6} < x < \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{6}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (\frac{\pi}{36} + \frac{\pi n}{6}, \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{6}), n \in \mathbb{Z}$.

г) $ctg(x + \frac{\pi}{4}) \leq \sqrt{3}$

Пусть $t = x + \frac{\pi}{4}$. Неравенство принимает вид $ctg \, t \leq \sqrt{3}$.
Это неравенство включает в себя два случая: $ctg \, t < \sqrt{3}$ и $ctg \, t = \sqrt{3}$.
Из предыдущего пункта мы знаем, что решение $ctg \, t < \sqrt{3}$ есть $\frac{\pi}{6} + \pi n < t < \pi + \pi n$.
Решение $ctg \, t = \sqrt{3}$ есть $t = \frac{\pi}{6} + \pi n$.
Объединяя эти решения, получаем: $\frac{\pi}{6} + \pi n \leq t < \pi + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. (Обратите внимание, что правая граница строгая из-за асимптоты).
Сделаем обратную замену $t = x + \frac{\pi}{4}$:
$\frac{\pi}{6} + \pi n \leq x + \frac{\pi}{4} < \pi + \pi n$.
Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из всех частей неравенства:
$\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + \pi n \leq x < \pi - \frac{\pi}{4} + \pi n$.
$\frac{2\pi - 3\pi}{12} + \pi n \leq x < \frac{4\pi - \pi}{4} + \pi n$.
$-\frac{\pi}{12} + \pi n \leq x < \frac{3\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{12} + \pi n, \frac{3\pi}{4} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

д) $ctg(\frac{9x}{4} - \frac{5\pi}{4}) \leq \sqrt{3}$

Пусть $t = \frac{9x}{4} - \frac{5\pi}{4}$. Неравенство принимает вид $ctg \, t \leq \sqrt{3}$.
Как и в предыдущем задании, решение для $t$:
$\frac{\pi}{6} + \pi n \leq t < \pi + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Сделаем обратную замену:
$\frac{\pi}{6} + \pi n \leq \frac{9x}{4} - \frac{5\pi}{4} < \pi + \pi n$.
Прибавим $\frac{5\pi}{4}$ ко всем частям неравенства:
$\frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{4} + \pi n \leq \frac{9x}{4} < \pi + \frac{5\pi}{4} + \pi n$.
$\frac{2\pi + 15\pi}{12} + \pi n \leq \frac{9x}{4} < \frac{4\pi + 5\pi}{4} + \pi n$.
$\frac{17\pi}{12} + \pi n \leq \frac{9x}{4} < \frac{9\pi}{4} + \pi n$.
Умножим все части неравенства на $\frac{4}{9}$:
$\frac{4}{9} \cdot \frac{17\pi}{12} + \frac{4\pi n}{9} \leq x < \frac{4}{9} \cdot \frac{9\pi}{4} + \frac{4\pi n}{9}$.
$\frac{17\pi}{27} + \frac{4\pi n}{9} \leq x < \pi + \frac{4\pi n}{9}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in [\frac{17\pi}{27} + \frac{4\pi n}{9}, \pi + \frac{4\pi n}{9}), n \in \mathbb{Z}$.