Номер 8, страница 171, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

8. (2) a) $\operatorname{tg}x > \frac{1}{\sqrt{3}};

б) $\operatorname{tg} 2x \ge -\frac{1}{\sqrt{3}};$

В) $\sqrt{3}\operatorname{tg}\frac{x}{6} < 1;$

Г) $\sqrt{3}\operatorname{tg}\left(x - \frac{\pi}{9}\right) + 1 \le 0;$

Д) $\sqrt{3}\operatorname{tg}\left(x - \frac{5\pi}{9}\right) - 1 \le 0.$

а) Решим неравенство $\text{tg } x > \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Решение неравенства вида $\text{tg } t > a$ находится в интервале $\text{arctg}(a) + \pi n < t < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $t = x$ и $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Найдем арктангенс: $\text{arctg}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$.
Подставим значение в общую формулу решения:
$\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (\frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

б) Решим неравенство $\text{tg } 2x \ge -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Сделаем замену $t = 2x$. Неравенство примет вид $\text{tg } t \ge -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Решение неравенства вида $\text{tg } t \ge a$ находится в интервале $\text{arctg}(a) + \pi n \le t < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Найдем арктангенс: $\text{arctg}(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{\pi}{6}$.
Подставим значение в общую формулу решения для $t$:
$-\frac{\pi}{6} + \pi n \le t < \frac{\pi}{2} + \pi n$.
Теперь вернемся к переменной $x$, подставив $t = 2x$:
$-\frac{\pi}{6} + \pi n \le 2x < \frac{\pi}{2} + \pi n$.
Разделим все части неравенства на 2:
$-\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2} \le x < \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}; \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}), n \in \mathbb{Z}$.

в) Решим неравенство $\sqrt{3} \text{tg} \frac{x}{6} < 1$.
Сначала преобразуем неравенство, разделив обе части на $\sqrt{3}$:
$\text{tg} \frac{x}{6} < \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Сделаем замену $t = \frac{x}{6}$. Неравенство примет вид $\text{tg } t < \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Решение неравенства вида $\text{tg } t < a$ находится в интервале $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t < \text{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Найдем арктангенс: $\text{arctg}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$.
Подставим значение в общую формулу решения для $t$:
$-\frac{\pi}{2} + \pi n < t < \frac{\pi}{6} + \pi n$.
Теперь вернемся к переменной $x$, подставив $t = \frac{x}{6}$:
$-\frac{\pi}{2} + \pi n < \frac{x}{6} < \frac{\pi}{6} + \pi n$.
Умножим все части неравенства на 6:
$-3\pi + 6\pi n < x < \pi + 6\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (-3\pi + 6\pi n; \pi + 6\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

г) Решим неравенство $\sqrt{3} \text{tg} (x - \frac{\pi}{9}) + 1 \le 0$.
Преобразуем неравенство:
$\sqrt{3} \text{tg} (x - \frac{\pi}{9}) \le -1$
$\text{tg} (x - \frac{\pi}{9}) \le -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Сделаем замену $t = x - \frac{\pi}{9}$. Неравенство примет вид $\text{tg } t \le -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Решение неравенства вида $\text{tg } t \le a$ находится в интервале $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t \le \text{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Найдем арктангенс: $\text{arctg}(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{\pi}{6}$.
Подставим значение в общую формулу для $t$:
$-\frac{\pi}{2} + \pi n < t \le -\frac{\pi}{6} + \pi n$.
Вернемся к переменной $x$:
$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x - \frac{\pi}{9} \le -\frac{\pi}{6} + \pi n$.
Прибавим $\frac{\pi}{9}$ ко всем частям неравенства:
$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{9} + \pi n < x \le -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{9} + \pi n$.
$-\frac{9\pi}{18} + \frac{2\pi}{18} + \pi n < x \le -\frac{3\pi}{18} + \frac{2\pi}{18} + \pi n$.
$-\frac{7\pi}{18} + \pi n < x \le -\frac{\pi}{18} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (-\frac{7\pi}{18} + \pi n; -\frac{\pi}{18} + \pi n], n \in \mathbb{Z}$.

д) Решим неравенство $\sqrt{3} \text{tg} (x - \frac{5\pi}{9}) - 1 \le 0$.
Преобразуем неравенство:
$\sqrt{3} \text{tg} (x - \frac{5\pi}{9}) \le 1$
$\text{tg} (x - \frac{5\pi}{9}) \le \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Сделаем замену $t = x - \frac{5\pi}{9}$. Неравенство примет вид $\text{tg } t \le \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Решение неравенства вида $\text{tg } t \le a$ находится в интервале $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t \le \text{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Найдем арктангенс: $\text{arctg}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$.
Подставим значение в общую формулу для $t$:
$-\frac{\pi}{2} + \pi n < t \le \frac{\pi}{6} + \pi n$.
Вернемся к переменной $x$:
$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x - \frac{5\pi}{9} \le \frac{\pi}{6} + \pi n$.
Прибавим $\frac{5\pi}{9}$ ко всем частям неравенства:
$-\frac{\pi}{2} + \frac{5\pi}{9} + \pi n < x \le \frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{9} + \pi n$.
$-\frac{9\pi}{18} + \frac{10\pi}{18} + \pi n < x \le \frac{3\pi}{18} + \frac{10\pi}{18} + \pi n$.
$\frac{\pi}{18} + \pi n < x \le \frac{13\pi}{18} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (\frac{\pi}{18} + \pi n; \frac{13\pi}{18} + \pi n], n \in \mathbb{Z}$.