Страница 171, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

8. (2) a) $\operatorname{tg}x > \frac{1}{\sqrt{3}};

б) $\operatorname{tg} 2x \ge -\frac{1}{\sqrt{3}};$

В) $\sqrt{3}\operatorname{tg}\frac{x}{6} < 1;$

Г) $\sqrt{3}\operatorname{tg}\left(x - \frac{\pi}{9}\right) + 1 \le 0;$

Д) $\sqrt{3}\operatorname{tg}\left(x - \frac{5\pi}{9}\right) - 1 \le 0.$

а) Решим неравенство $\text{tg } x > \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Решение неравенства вида $\text{tg } t > a$ находится в интервале $\text{arctg}(a) + \pi n < t < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $t = x$ и $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Найдем арктангенс: $\text{arctg}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$.
Подставим значение в общую формулу решения:
$\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (\frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

б) Решим неравенство $\text{tg } 2x \ge -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Сделаем замену $t = 2x$. Неравенство примет вид $\text{tg } t \ge -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Решение неравенства вида $\text{tg } t \ge a$ находится в интервале $\text{arctg}(a) + \pi n \le t < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Найдем арктангенс: $\text{arctg}(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{\pi}{6}$.
Подставим значение в общую формулу решения для $t$:
$-\frac{\pi}{6} + \pi n \le t < \frac{\pi}{2} + \pi n$.
Теперь вернемся к переменной $x$, подставив $t = 2x$:
$-\frac{\pi}{6} + \pi n \le 2x < \frac{\pi}{2} + \pi n$.
Разделим все части неравенства на 2:
$-\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2} \le x < \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}; \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}), n \in \mathbb{Z}$.

в) Решим неравенство $\sqrt{3} \text{tg} \frac{x}{6} < 1$.
Сначала преобразуем неравенство, разделив обе части на $\sqrt{3}$:
$\text{tg} \frac{x}{6} < \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Сделаем замену $t = \frac{x}{6}$. Неравенство примет вид $\text{tg } t < \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Решение неравенства вида $\text{tg } t < a$ находится в интервале $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t < \text{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Найдем арктангенс: $\text{arctg}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$.
Подставим значение в общую формулу решения для $t$:
$-\frac{\pi}{2} + \pi n < t < \frac{\pi}{6} + \pi n$.
Теперь вернемся к переменной $x$, подставив $t = \frac{x}{6}$:
$-\frac{\pi}{2} + \pi n < \frac{x}{6} < \frac{\pi}{6} + \pi n$.
Умножим все части неравенства на 6:
$-3\pi + 6\pi n < x < \pi + 6\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (-3\pi + 6\pi n; \pi + 6\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

г) Решим неравенство $\sqrt{3} \text{tg} (x - \frac{\pi}{9}) + 1 \le 0$.
Преобразуем неравенство:
$\sqrt{3} \text{tg} (x - \frac{\pi}{9}) \le -1$
$\text{tg} (x - \frac{\pi}{9}) \le -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Сделаем замену $t = x - \frac{\pi}{9}$. Неравенство примет вид $\text{tg } t \le -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Решение неравенства вида $\text{tg } t \le a$ находится в интервале $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t \le \text{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Найдем арктангенс: $\text{arctg}(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{\pi}{6}$.
Подставим значение в общую формулу для $t$:
$-\frac{\pi}{2} + \pi n < t \le -\frac{\pi}{6} + \pi n$.
Вернемся к переменной $x$:
$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x - \frac{\pi}{9} \le -\frac{\pi}{6} + \pi n$.
Прибавим $\frac{\pi}{9}$ ко всем частям неравенства:
$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{9} + \pi n < x \le -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{9} + \pi n$.
$-\frac{9\pi}{18} + \frac{2\pi}{18} + \pi n < x \le -\frac{3\pi}{18} + \frac{2\pi}{18} + \pi n$.
$-\frac{7\pi}{18} + \pi n < x \le -\frac{\pi}{18} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (-\frac{7\pi}{18} + \pi n; -\frac{\pi}{18} + \pi n], n \in \mathbb{Z}$.

д) Решим неравенство $\sqrt{3} \text{tg} (x - \frac{5\pi}{9}) - 1 \le 0$.
Преобразуем неравенство:
$\sqrt{3} \text{tg} (x - \frac{5\pi}{9}) \le 1$
$\text{tg} (x - \frac{5\pi}{9}) \le \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Сделаем замену $t = x - \frac{5\pi}{9}$. Неравенство примет вид $\text{tg } t \le \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Решение неравенства вида $\text{tg } t \le a$ находится в интервале $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t \le \text{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Найдем арктангенс: $\text{arctg}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$.
Подставим значение в общую формулу для $t$:
$-\frac{\pi}{2} + \pi n < t \le \frac{\pi}{6} + \pi n$.
Вернемся к переменной $x$:
$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x - \frac{5\pi}{9} \le \frac{\pi}{6} + \pi n$.
Прибавим $\frac{5\pi}{9}$ ко всем частям неравенства:
$-\frac{\pi}{2} + \frac{5\pi}{9} + \pi n < x \le \frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{9} + \pi n$.
$-\frac{9\pi}{18} + \frac{10\pi}{18} + \pi n < x \le \frac{3\pi}{18} + \frac{10\pi}{18} + \pi n$.
$\frac{\pi}{18} + \pi n < x \le \frac{13\pi}{18} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (\frac{\pi}{18} + \pi n; \frac{13\pi}{18} + \pi n], n \in \mathbb{Z}$.

9. (2) a) $ctg x > -\\frac{\\sqrt{3}}{3}$;

б) $ctg 3x \\geq \\frac{\\sqrt{3}}{3}$;

В) $ctg \\frac{x}{8} < -\\frac{1}{\\sqrt{3}}$;

Г) $ctg \\left(x+\\frac{8}{\\pi}\\right) \\leq \\frac{1}{\\sqrt{3}}$;

Д) $ctg \\left(x-\\frac{8}{5\\pi}\\right) \\leq -\\frac{1}{\\sqrt{3}}$.

а) Решим неравенство $ctg(x) > -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Функция $y=ctg(x)$ является периодической с периодом $\pi$ и убывающей на каждом интервале своей области определения $(\pi n, \pi(n+1))$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Сначала найдем значение $x$, для которого выполняется равенство $ctg(x) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Основное решение этого уравнения: $x = arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Неравенство $ctg(x) > a$ равносильно двойному неравенству $\pi k < x < arcctg(a) + \pi k$ для любого целого $k$.

Подставляя наше значение $a = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, получаем:

$\pi n < x < \frac{2\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\pi n; \frac{2\pi}{3} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

б) Решим неравенство $ctg(3x) \geq \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Введем замену переменной $t = 3x$. Неравенство примет вид $ctg(t) \geq \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Сначала решим уравнение $ctg(t) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Основное решение: $t = arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Неравенство $ctg(t) \geq a$ равносильно двойному неравенству $\pi n < t \leq arcctg(a) + \pi n$ для любого целого $n$.

Подставляя $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$, получаем:

$\pi n < t \leq \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь выполним обратную замену $t = 3x$:

$\pi n < 3x \leq \frac{\pi}{3} + \pi n$.

Разделим все части неравенства на 3:

$\frac{\pi n}{3} < x \leq \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi n}{3}; \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}], n \in \mathbb{Z}$.

в) Решим неравенство $ctg(\frac{x}{8}) < -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Введем замену переменной $t = \frac{x}{8}$. Неравенство примет вид $ctg(t) < -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Сначала решим уравнение $ctg(t) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Основное решение: $t = arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2\pi}{3}$.

Неравенство $ctg(t) < a$ равносильно двойному неравенству $arcctg(a) + \pi n < t < \pi + \pi n$ для любого целого $n$.

Подставляя наше значение $a$, получаем:

$\frac{2\pi}{3} + \pi n < t < \pi + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $t = \frac{x}{8}$:

$\frac{2\pi}{3} + \pi n < \frac{x}{8} < \pi(n+1)$.

Умножим все части неравенства на 8:

$\frac{16\pi}{3} + 8\pi n < x < 8\pi(n+1)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{16\pi}{3} + 8\pi n; 8\pi + 8\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

г) Решим неравенство $ctg(x + \frac{8}{\pi}) \leq \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Введем замену переменной $t = x + \frac{8}{\pi}$. Неравенство примет вид $ctg(t) \leq \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Сначала решим уравнение $ctg(t) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Основное решение: $t = arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Неравенство $ctg(t) \leq a$ равносильно двойному неравенству $arcctg(a) + \pi n \leq t < \pi + \pi n$ для любого целого $n$.

Подставляя наше значение $a$, получаем:

$\frac{\pi}{3} + \pi n \leq t < \pi + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $t = x + \frac{8}{\pi}$:

$\frac{\pi}{3} + \pi n \leq x + \frac{8}{\pi} < \pi + \pi n$.

Вычтем $\frac{8}{\pi}$ из всех частей неравенства:

$\frac{\pi}{3} - \frac{8}{\pi} + \pi n \leq x < \pi - \frac{8}{\pi} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{3} - \frac{8}{\pi} + \pi n; \pi - \frac{8}{\pi} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

д) Решим неравенство $ctg(x - \frac{8}{5\pi}) \leq -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Введем замену переменной $t = x - \frac{8}{5\pi}$. Неравенство примет вид $ctg(t) \leq -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Сначала решим уравнение $ctg(t) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Основное решение: $t = arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2\pi}{3}$.

Неравенство $ctg(t) \leq a$ равносильно двойному неравенству $arcctg(a) + \pi n \leq t < \pi + \pi n$ для любого целого $n$.

Подставляя наше значение $a$, получаем:

$\frac{2\pi}{3} + \pi n \leq t < \pi + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $t = x - \frac{8}{5\pi}$:

$\frac{2\pi}{3} + \pi n \leq x - \frac{8}{5\pi} < \pi + \pi n$.

Прибавим $\frac{8}{5\pi}$ ко всем частям неравенства:

$\frac{2\pi}{3} + \frac{8}{5\pi} + \pi n \leq x < \pi + \frac{8}{5\pi} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{2\pi}{3} + \frac{8}{5\pi} + \pi n; \pi + \frac{8}{5\pi} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

10. (2)

а) $\tg x > 100$;

б) $\tg 20x > -20$;

в) $\tg \frac{5x}{8} < \frac{5}{8}$;

г) $\tg \left(11x + \frac{\pi}{4}\right) + 100 \le 0$;

д) $\tg \left(x + \frac{9\pi}{4}\right) \le \pi$.

а) Решим неравенство $tg(x) > 100$.

Общее решение неравенства вида $tg(t) > a$ имеет вид $arctg(a) + \pi n < t < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $t = x$ и $a = 100$.

Подставляя эти значения, получаем решение:

$arctg(100) + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (arctg(100) + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

б) Решим неравенство $tg(20x) > -20$.

Пусть $t = 20x$. Неравенство принимает вид $tg(t) > -20$.

Решение этого неравенства: $arctg(-20) + \pi n < t < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Используя свойство арктангенса $arctg(-a) = -arctg(a)$, получаем:

$-arctg(20) + \pi n < t < \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Теперь произведем обратную замену $t = 20x$:

$-arctg(20) + \pi n < 20x < \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Разделим все части неравенства на 20, чтобы найти $x$:

$\frac{-arctg(20) + \pi n}{20} < x < \frac{\frac{\pi}{2} + \pi n}{20}$

$-\frac{arctg(20)}{20} + \frac{\pi n}{20} < x < \frac{\pi}{40} + \frac{\pi n}{20}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{arctg(20)}{20} + \frac{\pi n}{20}; \frac{\pi}{40} + \frac{\pi n}{20})$, $n \in \mathbb{Z}$.

в) Решим неравенство $tg(\frac{5x}{8}) < \frac{5}{8}$.

Общее решение неравенства вида $tg(t) < a$ имеет вид $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t < arctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $t = \frac{5x}{8}$ и $a = \frac{5}{8}$.

Подставляем эти значения в общее решение:

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < \frac{5x}{8} < arctg(\frac{5}{8}) + \pi n$.

Чтобы выразить $x$, умножим все части неравенства на $\frac{8}{5}$:

$(-\frac{\pi}{2} + \pi n) \cdot \frac{8}{5} < x < (arctg(\frac{5}{8}) + \pi n) \cdot \frac{8}{5}$

$-\frac{4\pi}{5} + \frac{8\pi n}{5} < x < \frac{8}{5}arctg(\frac{5}{8}) + \frac{8\pi n}{5}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{4\pi}{5} + \frac{8\pi n}{5}; \frac{8}{5}arctg(\frac{5}{8}) + \frac{8\pi n}{5})$, $n \in \mathbb{Z}$.

г) Решим неравенство $tg(11x + \frac{\pi}{4}) + 100 \le 0$.

Сначала преобразуем неравенство:

$tg(11x + \frac{\pi}{4}) \le -100$.

Общее решение неравенства вида $tg(t) \le a$ имеет вид $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t \le arctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = 11x + \frac{\pi}{4}$ и $a = -100$.

Подставляем значения:

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < 11x + \frac{\pi}{4} \le arctg(-100) + \pi n$.

Используя свойство $arctg(-a) = -arctg(a)$, получаем:

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < 11x + \frac{\pi}{4} \le -arctg(100) + \pi n$.

Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из всех частей неравенства:

$-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi n < 11x \le -arctg(100) - \frac{\pi}{4} + \pi n$

$-\frac{3\pi}{4} + \pi n < 11x \le -arctg(100) - \frac{\pi}{4} + \pi n$.

Теперь разделим все части на 11:

$\frac{-\frac{3\pi}{4} + \pi n}{11} < x \le \frac{-arctg(100) - \frac{\pi}{4} + \pi n}{11}$

$-\frac{3\pi}{44} + \frac{\pi n}{11} < x \le -\frac{arctg(100)}{11} - \frac{\pi}{44} + \frac{\pi n}{11}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{3\pi}{44} + \frac{\pi n}{11}; -\frac{arctg(100)}{11} - \frac{\pi}{44} + \frac{\pi n}{11}]$, $n \in \mathbb{Z}$.

д) Решим неравенство $tg(x + \frac{9\pi}{4}) \le \pi$.

Сначала упростим аргумент тангенса, используя его периодичность с периодом $\pi$. Заметим, что $\frac{9\pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4}$.

$tg(x + \frac{9\pi}{4}) = tg(x + \frac{\pi}{4} + 2\pi) = tg(x + \frac{\pi}{4})$.

Неравенство принимает вид: $tg(x + \frac{\pi}{4}) \le \pi$.

Общее решение неравенства вида $tg(t) \le a$ имеет вид $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t \le arctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $t = x + \frac{\pi}{4}$ и $a = \pi$.

Подставляем значения:

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x + \frac{\pi}{4} \le arctg(\pi) + \pi n$.

Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из всех частей неравенства, чтобы выразить $x$:

$-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi n < x \le arctg(\pi) - \frac{\pi}{4} + \pi n$

$-\frac{3\pi}{4} + \pi n < x \le arctg(\pi) - \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{3\pi}{4} + \pi n; arctg(\pi) - \frac{\pi}{4} + \pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.