Страница 170, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Решите неравенства (1-5):

1. (2)

a) $tg x > 0$;

б) $tg 4x \ge 0$;

в) $tg \frac{x}{4} < 0$;

г) $tg \left(x + \frac{\pi}{7}\right) \le 0$;

д) $tg \left(\frac{6x}{7} + \frac{6\pi}{7}\right) \le 0$.

а) $tgx > 0$

Чтобы решить неравенство $tgx > 0$, определим, в каких четвертях тригонометрического круга тангенс положителен. Это I и III четверти. Период функции $y=tgx$ равен $\pi$.

Решение для основного периода $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ соответствует интервалу $0 < x < \frac{\pi}{2}$.

Учитывая периодичность, общее решение неравенства можно записать в виде двойного неравенства:

$\pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

б) $tg4x \ge 0$

Введем замену переменной: пусть $t = 4x$. Неравенство принимает вид $tg t \ge 0$.

Решением этого неравенства является совокупность промежутков, где тангенс неотрицателен. Это соответствует углам в I и III четвертях, включая границы, где тангенс равен нулю ($t=0, \pi, 2\pi, ...$).

Таким образом, $\pi n \le t < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $t = 4x$:

$\pi n \le 4x < \frac{\pi}{2} + \pi n$

Разделим все части неравенства на 4:

$\frac{\pi n}{4} \le x < \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{\pi n}{4}; \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}), n \in \mathbb{Z}$.

в) $tg\frac{x}{4} < 0$

Введем замену переменной: пусть $t = \frac{x}{4}$. Неравенство принимает вид $tg t < 0$.

Тангенс отрицателен во II и IV четвертях.

Решение для основного периода $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ соответствует интервалу $-\frac{\pi}{2} < t < 0$.

С учетом периодичности, общее решение: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t < \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $t = \frac{x}{4}$:

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < \frac{x}{4} < \pi n$

Умножим все части неравенства на 4:

$-2\pi + 4\pi n < x < 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-2\pi + 4\pi n; 4\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

г) $tg(x+\frac{\pi}{7}) \le 0$

Введем замену переменной: пусть $t = x+\frac{\pi}{7}$. Неравенство принимает вид $tg t \le 0$.

Решением этого неравенства является совокупность промежутков, где тангенс неположителен. Это II и IV четверти, включая границы, где тангенс равен нулю.

Таким образом, $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t \le \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $t = x+\frac{\pi}{7}$:

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x + \frac{\pi}{7} \le \pi n$

Вычтем $\frac{\pi}{7}$ из всех частей неравенства:

$-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7} + \pi n < x \le \pi n - \frac{\pi}{7}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю: $-\frac{7\pi}{14} - \frac{2\pi}{14} = -\frac{9\pi}{14}$.

Получаем окончательное решение:

$-\frac{9\pi}{14} + \pi n < x \le -\frac{\pi}{7} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{9\pi}{14} + \pi n; -\frac{\pi}{7} + \pi n], n \in \mathbb{Z}$.

д) $tg(\frac{6x}{7} + \frac{6\pi}{7}) \le 0$

Введем замену переменной: пусть $t = \frac{6x}{7} + \frac{6\pi}{7}$. Неравенство принимает вид $tg t \le 0$.

Решение этого неравенства, как и в предыдущем пункте: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t \le \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену:

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < \frac{6x}{7} + \frac{6\pi}{7} \le \pi n$

Вычтем $\frac{6\pi}{7}$ из всех частей:

$-\frac{\pi}{2} - \frac{6\pi}{7} + \pi n < \frac{6x}{7} \le \pi n - \frac{6\pi}{7}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю: $-\frac{7\pi}{14} - \frac{12\pi}{14} = -\frac{19\pi}{14}$.

$-\frac{19\pi}{14} + \pi n < \frac{6x}{7} \le -\frac{6\pi}{7} + \pi n$

Умножим все части неравенства на $\frac{7}{6}$:

$\frac{7}{6} \cdot (-\frac{19\pi}{14} + \pi n) < x \le \frac{7}{6} \cdot (-\frac{6\pi}{7} + \pi n)$

$-\frac{19\pi}{12} + \frac{7\pi n}{6} < x \le -\pi + \frac{7\pi n}{6}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{19\pi}{12} + \frac{7\pi n}{6}; -\pi + \frac{7\pi n}{6}], n \in \mathbb{Z}$.

2. (2)

a) $ \text{ctg} x > -1; $

б) $ \text{ctg} 9x \ge 1; $

в) $ \text{ctg} \frac{2x}{5} < -1; $

г) $ \text{ctg} \left(x + \frac{\pi}{8}\right) \le 1; $

д) $ \text{ctg} \left(\frac{2x}{11} + \frac{\pi}{8}\right) \le -1; $

а) Дано неравенство $ctg x > -1$. Решение неравенства вида $ctg t > a$ основывается на свойстве убывания функции котангенса и ее периодичности. Общее решение для такого неравенства записывается в виде двойного неравенства: $\pi n < t < arcctg(a) + \pi n$, где $n \in Z$. В нашем случае $t=x$ и $a=-1$. Найдём значение арккотангенса: $arcctg(-1) = \frac{3\pi}{4}$. Подставляя эти значения, получаем искомое решение: $\pi n < x < \frac{3\pi}{4} + \pi n$, где $n \in Z$. Ответ: $x \in (\pi n; \frac{3\pi}{4} + \pi n)$, где $n \in Z$.

б) Решим неравенство $ctg 9x \geq 1$. Сделаем замену переменной $t = 9x$. Неравенство принимает вид $ctg t \geq 1$. Общее решение для неравенства вида $ctg t \geq a$ имеет вид $\pi n < t \leq arcctg(a) + \pi n$, где $n \in Z$. В данном случае $a=1$, и $arcctg(1) = \frac{\pi}{4}$. Таким образом, $\pi n < t \leq \frac{\pi}{4} + \pi n$. Теперь выполним обратную замену $t = 9x$: $\pi n < 9x \leq \frac{\pi}{4} + \pi n$. Чтобы найти $x$, разделим все части неравенства на 9: $\frac{\pi n}{9} < x \leq \frac{\pi}{36} + \frac{\pi n}{9}$, где $n \in Z$. Ответ: $x \in (\frac{\pi n}{9}; \frac{\pi}{36} + \frac{\pi n}{9}]$, где $n \in Z$.

в) Решим неравенство $ctg \frac{2x}{5} < -1$. Введём замену $t = \frac{2x}{5}$, получив неравенство $ctg t < -1$. Общее решение для неравенства вида $ctg t < a$ записывается как $arcctg(a) + \pi n < t < \pi + \pi n$, где $n \in Z$. Для $a=-1$ имеем $arcctg(-1) = \frac{3\pi}{4}$. Следовательно, $\frac{3\pi}{4} + \pi n < t < \pi + \pi n$. Выполним обратную замену: $\frac{3\pi}{4} + \pi n < \frac{2x}{5} < \pi + \pi n$. Чтобы выразить $x$, умножим все части неравенства на $\frac{5}{2}$: $\frac{5}{2}(\frac{3\pi}{4} + \pi n) < x < \frac{5}{2}(\pi + \pi n)$, что приводит к $\frac{15\pi}{8} + \frac{5\pi n}{2} < x < \frac{5\pi}{2} + \frac{5\pi n}{2}$, где $n \in Z$. Ответ: $x \in (\frac{15\pi}{8} + \frac{5\pi n}{2}; \frac{5\pi}{2} + \frac{5\pi n}{2})$, где $n \in Z$.

г) Решим неравенство $ctg(x + \frac{\pi}{8}) \leq 1$. Произведём замену $t = x + \frac{\pi}{8}$, чтобы получить $ctg t \leq 1$. Общее решение для неравенства $ctg t \leq a$ имеет вид $arcctg(a) + \pi n \leq t < \pi + \pi n$, где $n \in Z$. Здесь $a=1$, и $arcctg(1) = \frac{\pi}{4}$. Таким образом, $\frac{\pi}{4} + \pi n \leq t < \pi + \pi n$. Выполняем обратную замену: $\frac{\pi}{4} + \pi n \leq x + \frac{\pi}{8} < \pi + \pi n$. Чтобы найти $x$, вычтем $\frac{\pi}{8}$ из всех частей неравенства: $\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{8} + \pi n \leq x < \pi - \frac{\pi}{8} + \pi n$. После упрощения получаем: $\frac{\pi}{8} + \pi n \leq x < \frac{7\pi}{8} + \pi n$, где $n \in Z$. Ответ: $x \in [\frac{\pi}{8} + \pi n; \frac{7\pi}{8} + \pi n)$, где $n \in Z$.

д) Решим неравенство $ctg(\frac{2x}{11} + \frac{\pi}{8}) \leq -1$. Сделаем замену $t = \frac{2x}{11} + \frac{\pi}{8}$, что приводит к неравенству $ctg t \leq -1$. Общее решение неравенства $ctg t \leq a$ есть $arcctg(a) + \pi n \leq t < \pi + \pi n$, где $n \in Z$. Для $a=-1$ имеем $arcctg(-1) = \frac{3\pi}{4}$. Значит, $\frac{3\pi}{4} + \pi n \leq t < \pi + \pi n$. Возвращаемся к переменной $x$: $\frac{3\pi}{4} + \pi n \leq \frac{2x}{11} + \frac{\pi}{8} < \pi + \pi n$. Сначала вычтем $\frac{\pi}{8}$ из всех частей: $\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{8} + \pi n \leq \frac{2x}{11} < \pi - \frac{\pi}{8} + \pi n$. Упростим разности: $\frac{5\pi}{8} + \pi n \leq \frac{2x}{11} < \frac{7\pi}{8} + \pi n$. Наконец, умножим все части на $\frac{11}{2}$ для нахождения $x$: $\frac{11}{2}(\frac{5\pi}{8} + \pi n) \leq x < \frac{11}{2}(\frac{7\pi}{8} + \pi n)$. Окончательное решение: $\frac{55\pi}{16} + \frac{11\pi n}{2} \leq x < \frac{77\pi}{16} + \frac{11\pi n}{2}$, где $n \in Z$. Ответ: $x \in [\frac{55\pi}{16} + \frac{11\pi n}{2}; \frac{77\pi}{16} + \frac{11\pi n}{2})$, где $n \in Z$.

3. (2)

a) $ \text{tg}x > -\sqrt{3} $

б) $ \text{tg}3x - \sqrt{3} \ge 0 $

В) $ \text{tg}\frac{x}{5} < \sqrt{3} $

г) $ \text{tg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + \sqrt{3} \le 0 $

Д) $ \text{tg}\left(\frac{7x}{2} + \frac{5\pi}{6}\right) \le -\sqrt{3} $

а) $tg x > -\sqrt{3}$

Решение простейшего тригонометрического неравенства вида $tg x > a$ имеет вид: $\text{arctg}(a) + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = -\sqrt{3}$.

Найдём арктангенс: $\text{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.

Подставим значение в общую формулу решения:

$-\frac{\pi}{3} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{3} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

б) $tg3x - \sqrt{3} \ge 0$

Перенесём $\sqrt{3}$ в правую часть неравенства:

$tg3x \ge \sqrt{3}$.

Сделаем замену переменной: пусть $t = 3x$. Неравенство примет вид $tg t \ge \sqrt{3}$.

Решение неравенства вида $tg t \ge a$ имеет вид: $\text{arctg}(a) + \pi n \le t < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = \sqrt{3}$. Найдём арктангенс: $\text{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляем в формулу: $\frac{\pi}{3} + \pi n \le t < \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Выполним обратную замену $t = 3x$:

$\frac{\pi}{3} + \pi n \le 3x < \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Разделим все части неравенства на 3, чтобы найти $x$:

$\frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3} \le x < \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}; \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3})$, $n \in \mathbb{Z}$.

в) $tg\frac{x}{5} < \sqrt{3}$

Пусть $t = \frac{x}{5}$. Неравенство примет вид $tg t < \sqrt{3}$.

Решение неравенства вида $tg t < a$ имеет вид: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t < \text{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = \sqrt{3}$. Найдём арктангенс: $\text{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляем в формулу: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t < \frac{\pi}{3} + \pi n$.

Выполним обратную замену $t = \frac{x}{5}$:

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < \frac{x}{5} < \frac{\pi}{3} + \pi n$.

Умножим все части неравенства на 5, чтобы найти $x$:

$-\frac{5\pi}{2} + 5\pi n < x < \frac{5\pi}{3} + 5\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{5\pi}{2} + 5\pi n; \frac{5\pi}{3} + 5\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

г) $tg(x + \frac{\pi}{3}) + \sqrt{3} \le 0$

Перенесём $\sqrt{3}$ в правую часть:

$tg(x + \frac{\pi}{3}) \le -\sqrt{3}$.

Пусть $t = x + \frac{\pi}{3}$. Неравенство примет вид $tg t \le -\sqrt{3}$.

Решение неравенства вида $tg t \le a$ имеет вид: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t \le \text{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = -\sqrt{3}$. Найдём арктангенс: $\text{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.

Подставляем в формулу: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t \le -\frac{\pi}{3} + \pi n$.

Выполним обратную замену $t = x + \frac{\pi}{3}$:

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x + \frac{\pi}{3} \le -\frac{\pi}{3} + \pi n$.

Вычтем $\frac{\pi}{3}$ из всех частей неравенства:

$-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + \pi n < x \le -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + \pi n$.

$-\frac{3\pi + 2\pi}{6} + \pi n < x \le -\frac{2\pi}{3} + \pi n$.

$-\frac{5\pi}{6} + \pi n < x \le -\frac{2\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{5\pi}{6} + \pi n; -\frac{2\pi}{3} + \pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

д) $tg(\frac{7x}{2} + \frac{5\pi}{6}) \le -\sqrt{3}$

Пусть $t = \frac{7x}{2} + \frac{5\pi}{6}$. Неравенство примет вид $tg t \le -\sqrt{3}$.

Решение неравенства вида $tg t \le a$ имеет вид: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t \le \text{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = -\sqrt{3}$. Найдём арктангенс: $\text{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.

Подставляем в формулу: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t \le -\frac{\pi}{3} + \pi n$.

Выполним обратную замену $t = \frac{7x}{2} + \frac{5\pi}{6}$:

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < \frac{7x}{2} + \frac{5\pi}{6} \le -\frac{\pi}{3} + \pi n$.

Вычтем $\frac{5\pi}{6}$ из всех частей неравенства:

$-\frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{6} + \pi n < \frac{7x}{2} \le -\frac{\pi}{3} - \frac{5\pi}{6} + \pi n$.

$-\frac{3\pi+5\pi}{6} + \pi n < \frac{7x}{2} \le -\frac{2\pi+5\pi}{6} + \pi n$.

$-\frac{8\pi}{6} + \pi n < \frac{7x}{2} \le -\frac{7\pi}{6} + \pi n$.

$-\frac{4\pi}{3} + \pi n < \frac{7x}{2} \le -\frac{7\pi}{6} + \pi n$.

Умножим все части неравенства на $\frac{2}{7}$:

$\frac{2}{7}(-\frac{4\pi}{3} + \pi n) < x \le \frac{2}{7}(-\frac{7\pi}{6} + \pi n)$.

$-\frac{8\pi}{21} + \frac{2\pi n}{7} < x \le -\frac{14\pi}{42} + \frac{2\pi n}{7}$.

$-\frac{8\pi}{21} + \frac{2\pi n}{7} < x \le -\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{7}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{8\pi}{21} + \frac{2\pi n}{7}; -\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{7}]$, $n \in \mathbb{Z}$.

4. (2)

a) $ctg x > \sqrt{3};$

б) $ctg 2x > -\sqrt{3};$

в) $ctg 6x < \sqrt{3}.$

г) $ctg \left(x + \frac{\pi}{4}\right) \le \sqrt{3};$

д) $ctg \left(\frac{9x}{4} - \frac{5\pi}{4}\right) \le \sqrt{3};$

а) $ctg \, x > \sqrt{3}$

Решим неравенство $ctg \, x > \sqrt{3}$.
Функция котангенс $y = ctg \, x$ определена для всех $x$, кроме $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Функция является убывающей на каждом интервале $( \pi n, \pi + \pi n )$. Период функции равен $\pi$.
Сначала найдем решения уравнения $ctg \, x = \sqrt{3}$.
$x = arcctg(\sqrt{3}) + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Рассмотрим решение на одном периоде, например, на интервале $(0, \pi)$. На этом интервале $ctg \, x = \sqrt{3}$ при $x = \frac{\pi}{6}$.
Поскольку функция $ctg \, x$ убывает, неравенство $ctg \, x > \sqrt{3}$ выполняется для тех $x$, которые меньше $\frac{\pi}{6}$, но больше, чем левая граница области определения (асимптота $x=0$).
Таким образом, на интервале $(0, \pi)$ решение будет $0 < x < \frac{\pi}{6}$.
Учитывая периодичность, общее решение неравенства:
$\pi n < x < \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (\pi n, \frac{\pi}{6} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

б) $ctg \, 2x > -\sqrt{3}$

Пусть $t = 2x$. Неравенство принимает вид $ctg \, t > -\sqrt{3}$.
Найдем решение уравнения $ctg \, t = -\sqrt{3}$.
$t = arcctg(-\sqrt{3}) + \pi n = \frac{5\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
На интервале $(0, \pi)$ функция $ctg \, t$ убывает. Неравенство $ctg \, t > -\sqrt{3}$ выполняется, когда $t$ находится между левой асимптотой $t=0$ и значением $t = \frac{5\pi}{6}$.
Таким образом, $0 < t < \frac{5\pi}{6}$.
Общее решение для $t$: $\pi n < t < \frac{5\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Сделаем обратную замену $t = 2x$:
$\pi n < 2x < \frac{5\pi}{6} + \pi n$.
Разделим все части неравенства на 2:
$\frac{\pi n}{2} < x < \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (\frac{\pi n}{2}, \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}), n \in \mathbb{Z}$.

в) $ctg \, 6x < \sqrt{3}$

Пусть $t = 6x$. Неравенство принимает вид $ctg \, t < \sqrt{3}$.
Найдем решение уравнения $ctg \, t = \sqrt{3}$.
$t = arcctg(\sqrt{3}) + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
На интервале $(0, \pi)$ функция $ctg \, t$ убывает. Неравенство $ctg \, t < \sqrt{3}$ выполняется, когда $t$ больше $\frac{\pi}{6}$ и меньше правой асимптоты $t=\pi$.
Таким образом, $\frac{\pi}{6} < t < \pi$.
Общее решение для $t$: $\frac{\pi}{6} + \pi n < t < \pi + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Сделаем обратную замену $t = 6x$:
$\frac{\pi}{6} + \pi n < 6x < \pi + \pi n$.
Разделим все части неравенства на 6:
$\frac{\pi}{36} + \frac{\pi n}{6} < x < \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{6}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (\frac{\pi}{36} + \frac{\pi n}{6}, \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{6}), n \in \mathbb{Z}$.

г) $ctg(x + \frac{\pi}{4}) \leq \sqrt{3}$

Пусть $t = x + \frac{\pi}{4}$. Неравенство принимает вид $ctg \, t \leq \sqrt{3}$.
Это неравенство включает в себя два случая: $ctg \, t < \sqrt{3}$ и $ctg \, t = \sqrt{3}$.
Из предыдущего пункта мы знаем, что решение $ctg \, t < \sqrt{3}$ есть $\frac{\pi}{6} + \pi n < t < \pi + \pi n$.
Решение $ctg \, t = \sqrt{3}$ есть $t = \frac{\pi}{6} + \pi n$.
Объединяя эти решения, получаем: $\frac{\pi}{6} + \pi n \leq t < \pi + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. (Обратите внимание, что правая граница строгая из-за асимптоты).
Сделаем обратную замену $t = x + \frac{\pi}{4}$:
$\frac{\pi}{6} + \pi n \leq x + \frac{\pi}{4} < \pi + \pi n$.
Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из всех частей неравенства:
$\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + \pi n \leq x < \pi - \frac{\pi}{4} + \pi n$.
$\frac{2\pi - 3\pi}{12} + \pi n \leq x < \frac{4\pi - \pi}{4} + \pi n$.
$-\frac{\pi}{12} + \pi n \leq x < \frac{3\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{12} + \pi n, \frac{3\pi}{4} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

д) $ctg(\frac{9x}{4} - \frac{5\pi}{4}) \leq \sqrt{3}$

Пусть $t = \frac{9x}{4} - \frac{5\pi}{4}$. Неравенство принимает вид $ctg \, t \leq \sqrt{3}$.
Как и в предыдущем задании, решение для $t$:
$\frac{\pi}{6} + \pi n \leq t < \pi + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Сделаем обратную замену:
$\frac{\pi}{6} + \pi n \leq \frac{9x}{4} - \frac{5\pi}{4} < \pi + \pi n$.
Прибавим $\frac{5\pi}{4}$ ко всем частям неравенства:
$\frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{4} + \pi n \leq \frac{9x}{4} < \pi + \frac{5\pi}{4} + \pi n$.
$\frac{2\pi + 15\pi}{12} + \pi n \leq \frac{9x}{4} < \frac{4\pi + 5\pi}{4} + \pi n$.
$\frac{17\pi}{12} + \pi n \leq \frac{9x}{4} < \frac{9\pi}{4} + \pi n$.
Умножим все части неравенства на $\frac{4}{9}$:
$\frac{4}{9} \cdot \frac{17\pi}{12} + \frac{4\pi n}{9} \leq x < \frac{4}{9} \cdot \frac{9\pi}{4} + \frac{4\pi n}{9}$.
$\frac{17\pi}{27} + \frac{4\pi n}{9} \leq x < \pi + \frac{4\pi n}{9}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in [\frac{17\pi}{27} + \frac{4\pi n}{9}, \pi + \frac{4\pi n}{9}), n \in \mathbb{Z}$.

5. (2) a) $ctg x > 121$;

б) $ctg 200x > - \frac{1}{200}$;

в) $700ctg \frac{3x}{7} < 3$;

г) $4ctg \left(x+\frac{5}{\pi}\right)-5 \le 0$;

д) $ctg\left(\frac{10x}{3}+\frac{\pi}{5}\right) \le 1000$.

а) Решим неравенство $ctg(x) > 121$.

Это простейшее тригонометрическое неравенство. Решение неравенства вида $ctg(t) > a$ находится в интервале $(\pi n, arcctg(a) + \pi n)$, где $n \in Z$. Функция $y=ctg(t)$ является убывающей на каждом интервале своей области определения.

В данном случае аргумент $t = x$ и $a = 121$.

Подставляя эти значения в общую формулу решения, получаем:

$\pi n < x < arcctg(121) + \pi n, n \in Z$.

Ответ: $x \in (\pi n; arcctg(121) + \pi n), n \in Z$.

б) Решим неравенство $ctg(200x) > -\frac{1}{200}$.

Это неравенство вида $ctg(t) > a$, где $t = 200x$ и $a = - \frac{1}{200}$.

Общее решение такого неравенства: $\pi n < t < arcctg(a) + \pi n, n \in Z$.

Подставим наши значения для $t$ и $a$:

$\pi n < 200x < arcctg(-\frac{1}{200}) + \pi n, n \in Z$.

Чтобы найти $x$, разделим все части двойного неравенства на 200:

$\frac{\pi n}{200} < x < \frac{arcctg(-\frac{1}{200})}{200} + \frac{\pi n}{200}, n \in Z$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi n}{200}; \frac{1}{200}arcctg(-\frac{1}{200}) + \frac{\pi n}{200}), n \in Z$.

в) Решим неравенство $700 ctg(\frac{3x}{7}) < 3$.

Сначала преобразуем неравенство, разделив обе части на 700, чтобы выделить тригонометрическую функцию:

$ctg(\frac{3x}{7}) < \frac{3}{700}$.

Это неравенство вида $ctg(t) < a$, где $t = \frac{3x}{7}$ и $a = \frac{3}{700}$.

Общее решение такого неравенства: $arcctg(a) + \pi n < t < \pi + \pi n, n \in Z$.

Подставим наши значения для $t$ и $a$:

$arcctg(\frac{3}{700}) + \pi n < \frac{3x}{7} < \pi + \pi n, n \in Z$.

Чтобы найти $x$, умножим все части двойного неравенства на $\frac{7}{3}$:

$\frac{7}{3}(arcctg(\frac{3}{700}) + \pi n) < x < \frac{7}{3}(\pi + \pi n), n \in Z$.

Раскроем скобки:

$\frac{7}{3}arcctg(\frac{3}{700}) + \frac{7\pi n}{3} < x < \frac{7\pi}{3} + \frac{7\pi n}{3}, n \in Z$.

Ответ: $x \in (\frac{7}{3}arcctg(\frac{3}{700}) + \frac{7\pi n}{3}; \frac{7\pi}{3} + \frac{7\pi n}{3}), n \in Z$.

г) Решим неравенство $4ctg(x + \frac{5}{\pi}) - 5 \le 0$.

Сначала преобразуем неравенство, чтобы выделить $ctg(...)$:

$4ctg(x + \frac{5}{\pi}) \le 5$

$ctg(x + \frac{5}{\pi}) \le \frac{5}{4}$.

Это нестрогое неравенство вида $ctg(t) \le a$, где $t = x + \frac{5}{\pi}$ и $a = \frac{5}{4}$.

Общее решение такого неравенства: $arcctg(a) + \pi n \le t < \pi + \pi n, n \in Z$. Неравенство нестрогое слева, так как $ctg(t)=a$ входит в решение, и строгое справа, так как в точках $\pi + \pi n$ котангенс не определен.

Подставим наши значения:

$arcctg(\frac{5}{4}) + \pi n \le x + \frac{5}{\pi} < \pi + \pi n, n \in Z$.

Чтобы найти $x$, вычтем $\frac{5}{\pi}$ из всех частей неравенства:

$arcctg(\frac{5}{4}) - \frac{5}{\pi} + \pi n \le x < \pi - \frac{5}{\pi} + \pi n, n \in Z$.

Ответ: $x \in [arcctg(\frac{5}{4}) - \frac{5}{\pi} + \pi n; \pi - \frac{5}{\pi} + \pi n), n \in Z$.

д) Решим неравенство $ctg(\frac{10x}{3} + \frac{\pi}{5}) \le 1000$.

Это нестрогое неравенство вида $ctg(t) \le a$, где $t = \frac{10x}{3} + \frac{\pi}{5}$ и $a = 1000$.

Общее решение такого неравенства: $arcctg(a) + \pi n \le t < \pi + \pi n, n \in Z$.

Подставим наши значения:

$arcctg(1000) + \pi n \le \frac{10x}{3} + \frac{\pi}{5} < \pi + \pi n, n \in Z$.

Теперь выразим $x$. Сначала вычтем $\frac{\pi}{5}$ из всех частей неравенства:

$arcctg(1000) - \frac{\pi}{5} + \pi n \le \frac{10x}{3} < \pi - \frac{\pi}{5} + \pi n, n \in Z$.

$arcctg(1000) - \frac{\pi}{5} + \pi n \le \frac{10x}{3} < \frac{4\pi}{5} + \pi n, n \in Z$.

Затем умножим все части неравенства на $\frac{3}{10}$:

$\frac{3}{10}(arcctg(1000) - \frac{\pi}{5} + \pi n) \le x < \frac{3}{10}(\frac{4\pi}{5} + \pi n), n \in Z$.

Раскроем скобки, чтобы получить окончательный вид:

$\frac{3}{10}arcctg(1000) - \frac{3\pi}{50} + \frac{3\pi n}{10} \le x < \frac{12\pi}{50} + \frac{3\pi n}{10}, n \in Z$.

Упростим дробь $\frac{12\pi}{50}$ до $\frac{6\pi}{25}$.

$\frac{3}{10}arcctg(1000) - \frac{3\pi}{50} + \frac{3\pi n}{10} \le x < \frac{6\pi}{25} + \frac{3\pi n}{10}, n \in Z$.

Ответ: $x \in [\frac{3}{10}arcctg(1000) - \frac{3\pi}{50} + \frac{3\pi n}{10}; \frac{6\pi}{25} + \frac{3\pi n}{10}), n \in Z$.

Решите неравенства (6-10):

6. (2)

a) $\text{ctg } x > 0$;

б) $\text{ctg } 5x \geq 0$;

в) $\text{ctg } \frac{x}{5} < 0$;

г) $\text{ctg } \left(x - \frac{\pi}{9}\right) \leq 0$;

д) $\text{ctg } \left(\frac{7x}{5} - \frac{7\pi}{5}\right) \leq 0$.

а) $ctg x > 0$

Функция котангенс, $ctg(t)$, положительна, когда ее аргумент $t$ находится в первой или третьей координатных четвертях. Учитывая периодичность функции, равную $\pi$, общее решение неравенства $ctg(t) > 0$ имеет вид:

$\pi k < t < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $t = x$, поэтому решение неравенства:

$\pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.

б) $ctg 5x \geq 0$

Общее решение неравенства $ctg(t) \geq 0$ включает точки, где $ctg(t) = 0$ (т.е. $t = \frac{\pi}{2} + \pi k$), и имеет вид:

$\pi k < t \leq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Сделаем замену $t = 5x$:

$\pi k < 5x \leq \frac{\pi}{2} + \pi k$

Чтобы найти $x$, разделим все части двойного неравенства на 5:

$\frac{\pi k}{5} < x \leq \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi k}{5}; \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}], k \in \mathbb{Z}$.

в) $ctg \frac{x}{5} < 0$

Функция котангенс, $ctg(t)$, отрицательна, когда ее аргумент $t$ находится во второй или четвертой координатных четвертях. Общее решение неравенства $ctg(t) < 0$ имеет вид:

$\frac{\pi}{2} + \pi k < t < \pi + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Сделаем замену $t = \frac{x}{5}$:

$\frac{\pi}{2} + \pi k < \frac{x}{5} < \pi + \pi k$

Чтобы найти $x$, умножим все части двойного неравенства на 5:

$\frac{5\pi}{2} + 5\pi k < x < 5\pi + 5\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{5\pi}{2} + 5\pi k; 5\pi + 5\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

г) $ctg(x - \frac{\pi}{9}) \leq 0$

Общее решение неравенства $ctg(t) \leq 0$ включает точки, где $ctg(t) = 0$, и имеет вид:

$\frac{\pi}{2} + \pi k \leq t < \pi + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Сделаем замену $t = x - \frac{\pi}{9}$:

$\frac{\pi}{2} + \pi k \leq x - \frac{\pi}{9} < \pi + \pi k$

Чтобы найти $x$, прибавим ко всем частям неравенства $\frac{\pi}{9}$:

$\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{9} + \pi k \leq x < \pi + \frac{\pi}{9} + \pi k$

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним сложение:

$\frac{9\pi + 2\pi}{18} + \pi k \leq x < \frac{9\pi + \pi}{9} + \pi k$

$\frac{11\pi}{18} + \pi k \leq x < \frac{10\pi}{9} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{11\pi}{18} + \pi k; \frac{10\pi}{9} + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.

д) $ctg(\frac{7x}{5} - \frac{7\pi}{5}) \leq 0$

Общее решение неравенства $ctg(t) \leq 0$ имеет вид:

$\frac{\pi}{2} + \pi k \leq t < \pi + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Сделаем замену $t = \frac{7x}{5} - \frac{7\pi}{5}$:

$\frac{\pi}{2} + \pi k \leq \frac{7x}{5} - \frac{7\pi}{5} < \pi + \pi k$

Прибавим ко всем частям $\frac{7\pi}{5}$:

$\frac{\pi}{2} + \frac{7\pi}{5} + \pi k \leq \frac{7x}{5} < \pi + \frac{7\pi}{5} + \pi k$

Упростим левую и правую части:

$\frac{5\pi + 14\pi}{10} + \pi k \leq \frac{7x}{5} < \frac{5\pi + 7\pi}{5} + \pi k$

$\frac{19\pi}{10} + \pi k \leq \frac{7x}{5} < \frac{12\pi}{5} + \pi k$

Умножим все части неравенства на $\frac{5}{7}$, чтобы выразить $x$:

$\frac{5}{7} \cdot \frac{19\pi}{10} + \frac{5\pi k}{7} \leq x < \frac{5}{7} \cdot \frac{12\pi}{5} + \frac{5\pi k}{7}$

$\frac{19\pi}{14} + \frac{5\pi k}{7} \leq x < \frac{12\pi}{7} + \frac{5\pi k}{7}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{19\pi}{14} + \frac{5\pi k}{7}; \frac{12\pi}{7} + \frac{5\pi k}{7}), k \in \mathbb{Z}$.

7. (2)

a) $ \operatorname{tg} x > 1; $

б) $ \operatorname{tg} 10x \ge -1; $

в) $ \operatorname{tg} \frac{x}{8} < -1; $

г) $ \operatorname{tg} \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \le 1; $

д) $ \operatorname{tg} \left( \frac{4x}{5} + \frac{5\pi}{4} \right) \le -1. $

а)

Решим неравенство $tg(x) > 1$.

Область определения тангенса: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Решением неравенства $tg(t) > a$ является интервал $\text{arctg}(a) + \pi n < t < \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $t = x$ и $a = 1$.

Найдем арктангенс от 1: $\text{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.

Подставляем значения в общую формулу решения:

$\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

б)

Решим неравенство $tg(10x) \geq -1$.

Область определения: $10x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, т.е. $x \neq \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{10}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Решением неравенства $tg(t) \geq a$ является промежуток $\text{arctg}(a) + \pi n \leq t < \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Пусть $t = 10x$, тогда $a = -1$.

Найдем арктангенс от -1: $\text{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.

Подставляем в общую формулу:

$-\frac{\pi}{4} + \pi n \leq 10x < \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Разделим все части неравенства на 10, чтобы найти $x$:

$-\frac{\pi}{40} + \frac{\pi n}{10} \leq x < \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{10}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{40} + \frac{\pi n}{10}; \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{10})$, $n \in \mathbb{Z}$.

в)

Решим неравенство $tg(\frac{x}{8}) < -1$.

Область определения: $\frac{x}{8} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, т.е. $x \neq 4\pi + 8\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Решением неравенства $tg(t) < a$ является интервал $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t < \text{arctg}(a) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Пусть $t = \frac{x}{8}$, тогда $a = -1$.

$\text{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.

Подставляем в общую формулу:

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < \frac{x}{8} < -\frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Умножим все части неравенства на 8, чтобы найти $x$:

$-4\pi + 8\pi n < x < -2\pi + 8\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-4\pi + 8\pi n; -2\pi + 8\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

г)

Решим неравенство $tg(x + \frac{\pi}{4}) \leq 1$.

Область определения: $x + \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, т.е. $x \neq \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Решением неравенства $tg(t) \leq a$ является промежуток $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t \leq \text{arctg}(a) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Пусть $t = x + \frac{\pi}{4}$, тогда $a = 1$.

$\text{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.

Подставляем в общую формулу:

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x + \frac{\pi}{4} \leq \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из всех частей неравенства:

$-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi n < x \leq \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi n$.

$-\frac{3\pi}{4} + \pi n < x \leq \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{3\pi}{4} + \pi n; \pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

д)

Решим неравенство $tg(\frac{4x}{5} + \frac{5\pi}{4}) \leq -1$.

Область определения: $\frac{4x}{5} + \frac{5\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Решением неравенства $tg(t) \leq a$ является промежуток $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t \leq \text{arctg}(a) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Пусть $t = \frac{4x}{5} + \frac{5\pi}{4}$, тогда $a = -1$.

$\text{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.

Подставляем в общую формулу:

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < \frac{4x}{5} + \frac{5\pi}{4} \leq -\frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Вычтем $\frac{5\pi}{4}$ из всех частей неравенства:

$-\frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{4} + \pi n < \frac{4x}{5} \leq -\frac{\pi}{4} - \frac{5\pi}{4} + \pi n$.

$-\frac{2\pi}{4} - \frac{5\pi}{4} + \pi n < \frac{4x}{5} \leq -\frac{6\pi}{4} + \pi n$.

$-\frac{7\pi}{4} + \pi n < \frac{4x}{5} \leq -\frac{3\pi}{2} + \pi n$.

Умножим все части неравенства на $\frac{5}{4}$:

$\frac{5}{4} \cdot (-\frac{7\pi}{4} + \pi n) < x \leq \frac{5}{4} \cdot (-\frac{3\pi}{2} + \pi n)$.

$-\frac{35\pi}{16} + \frac{5\pi n}{4} < x \leq -\frac{15\pi}{8} + \frac{5\pi n}{4}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{35\pi}{16} + \frac{5\pi n}{4}; -\frac{15\pi}{8} + \frac{5\pi n}{4}]$, $n \in \mathbb{Z}$.