Номер 5, страница 174, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

5. (1)

$ \begin{cases} \operatorname{tg} x \geq 1, \\ \cos x \geq -\frac{\sqrt{3}}{2}. \end{cases} $

(1) Решим данную систему тригонометрических неравенств:

$ \begin{cases} \tg x \ge 1, \\ \cos x \ge -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $\tg x \ge 1$.

Сначала найдем корни уравнения $\tg x = 1$. Главное решение $x = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$. В силу периодичности тангенса (с периодом $\pi$), все решения уравнения имеют вид $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Функция $\tg x$ возрастает на каждом интервале своей области определения. Область определения тангенса — все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$, где находятся вертикальные асимптоты.

Таким образом, решение неравенства $\tg x \ge 1$ на одном периоде, например в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, будет $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$.

Общее решение первого неравенства: $x \in [\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

2. Решим второе неравенство: $\cos x \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Корни уравнения $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ равны $x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

На тригонометрической окружности неравенству $\cos x \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$ соответствуют точки, абсцисса которых (значение косинуса) больше или равна $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это дуга от $-\frac{5\pi}{6}$ до $\frac{5\pi}{6}$.

Общее решение второго неравенства: $x \in [-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.

3. Найдем пересечение решений.

Рассмотрим множество решений первого неравенства $S_1 = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} [\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$ и проверим, удовлетворяют ли эти значения второму неравенству.

Разобьем решение $S_1$ на два случая в зависимости от четности $n$.

а) Если $n$ четное, т.е. $n = 2k$, то $x \in [\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$. Эти углы находятся в первой четверти. Для них $\cos x$ принимает значения от $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ до $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Все эти значения положительны и, следовательно, больше $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, все решения из этих интервалов удовлетворяют второму неравенству.

б) Если $n$ нечетное, т.е. $n = 2k + 1$, то $x \in [\frac{\pi}{4} + (2k+1)\pi, \frac{\pi}{2} + (2k+1)\pi) = [\frac{5\pi}{4} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$. Эти углы находятся в третьей четверти. Для них $\cos x$ принимает значения от $\cos(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ до $\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$.

Нам нужно проверить, выполняется ли условие $\cos x \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$ на этом множестве. Сравним наименьшее значение косинуса на этом интервале, $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, с $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Так как $\sqrt{3} > \sqrt{2}$, то $\frac{\sqrt{3}}{2} > \frac{\sqrt{2}}{2}$, и, умножая на -1, получаем $-\frac{\sqrt{3}}{2} < -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Поскольку на интервале $[\frac{5\pi}{4} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$ наименьшее значение косинуса равно $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, а все остальные значения больше, то для любого $x$ из этого интервала выполняется $\cos x \ge -\frac{\sqrt{2}}{2} > -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, все решения первого неравенства $\tg x \ge 1$ являются также решениями второго неравенства $\cos x \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это означает, что множество решений первого неравенства является подмножеством решений второго. Следовательно, решением системы является решение первого неравенства.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.