gdz.top
Номер 15, страница 175, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы
Авторы: Пак О. В., Ардакулы Д., Ескендирова Е. В.
Тип: Учебник
Издательство: Алматыкітап баспасы
Год издания: 2019 - 2025
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-01-3958-9
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 10 классе
Часть 1. Глава 3. Тригонометрические уравнения и неравенства. Параграф 3. Простейшие тригонометрические неравенства. 3.4. Системы простейших тригонометрических неравенств. Задачи - номер 15, страница 175.
№14
№15 (с. 175)
Условие. №15 (с. 175)
15. (2)
$\begin{cases} \cot x \ge \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \tan x \ge \sqrt{3} \end{cases}$
Решение 2 (rus). №15 (с. 175)
Решим данную систему тригонометрических неравенств:
$$ \begin{cases} \ctg x \ge \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \tg x \ge \sqrt{3} \end{cases} $$
Рассмотрим второе неравенство системы: $\tg x \ge \sqrt{3}$. Поскольку $\sqrt{3}$ является положительным числом, из этого неравенства следует, что $\tg x$ также должен быть положительным ($\tg x > 0$).
Теперь обратимся к первому неравенству. Используем основное тригонометрическое тождество $\ctg x = \frac{1}{\tg x}$. Заменив $\ctg x$ в первом неравенстве, получим:
$$ \frac{1}{\tg x} \ge \frac{1}{\sqrt{3}} $$
Так как мы уже установили, что $\tg x > 0$, обе части данного неравенства ($\frac{1}{\tg x}$ и $\frac{1}{\sqrt{3}}$) являются положительными. Для положительных чисел при взятии обратной величины (переворачивании дроби) знак неравенства меняется на противоположный. Таким образом, получаем:
$$ \tg x \le \sqrt{3} $$
Теперь мы можем заменить первое неравенство в исходной системе на полученное, и система примет вид:
$$ \begin{cases} \tg x \le \sqrt{3} \\ \tg x \ge \sqrt{3} \end{cases} $$
Единственное значение переменной, которое может одновременно быть и меньше или равно некоторому числу, и больше или равно этому же числу, — это само это число. Следовательно, данная система неравенств равносильна уравнению:
$$ \tg x = \sqrt{3} $$
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решение находится по общей формуле $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Подставляя наше значение $a = \sqrt{3}$, получаем:
$$ x = \operatorname{arctg}(\sqrt{3}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$
Поскольку арктангенс $\sqrt{3}$ равен $\frac{\pi}{3}$, окончательное решение:
$$ x = \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$
Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 15 расположенного на странице 175 для 1-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №15 (с. 175), авторов: Пак (Олег Владимирович), Ардакулы (Дархан ), Ескендирова (Елена Викторовна), 1-й части учебного пособия издательства Алматыкітап баспасы.