Номер 19, страница 175, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

19. (1)

$\begin{cases} \text{tg}x \ge 0, \\ \cos x < -\frac{1}{2}. \end{cases}$

19. (1)

Для решения системы тригонометрических неравенств$$\begin{cases} \tg x \ge 0, \\ \cos x < -\frac{1}{2}\end{cases}$$найдем решения каждого неравенства по отдельности, а затем найдем их пересечение.

1. Решим неравенство $\tg x \ge 0$.

Функция тангенса неотрицательна, когда угол $x$ находится в первой или третьей координатной четверти. Учитывая область определения тангенса ($x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$), решение неравенства на одном обороте $[0, 2\pi]$ — это объединение промежутков $[0, \frac{\pi}{2})$ и $[\pi, \frac{3\pi}{2})$. Общее решение имеет вид $x \in [\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Решим неравенство $\cos x < -\frac{1}{2}$.

Сначала найдем углы, для которых $\cos x = -\frac{1}{2}$. На тригонометрической окружности это углы $x = \frac{2\pi}{3}$ и $x = \frac{4\pi}{3}$. Неравенству $\cos x < -\frac{1}{2}$ удовлетворяют углы, лежащие на дуге окружности между этими значениями, так как для них абсцисса точки на окружности меньше $-\frac{1}{2}$. Таким образом, решение этого неравенства на одном обороте — это интервал $(\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3})$. Общее решение имеет вид $x \in (\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \frac{4\pi}{3} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. Найдем пересечение решений.

Для нахождения решения системы необходимо найти пересечение множеств решений обоих неравенств. Изобразим решения на единичной тригонометрической окружности.

Решение $\tg x \ge 0$: дуги $[0, \frac{\pi}{2})$ и $[\pi, \frac{3\pi}{2})$.

Решение $\cos x < -\frac{1}{2}$: дуга $(\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3})$.

Пересечение этих множеств происходит только в третьей четверти. Найдем общую часть для дуг $[\pi, \frac{3\pi}{2})$ и $(\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3})$. Пересечением является полуинтервал $[\pi, \frac{4\pi}{3})$.

Левая граница $x=\pi$ включается в решение, так как $\tg(\pi)=0$ (удовлетворяет $\ge 0$) и $\cos(\pi)=-1$ (удовлетворяет $< -\frac{1}{2}$).

Правая граница $x=\frac{4\pi}{3}$ не включается в решение, так как $\cos(\frac{4\pi}{3})=-\frac{1}{2}$, что не удовлетворяет строгому неравенству $\cos x < -\frac{1}{2}$.

Таким образом, решение системы на одном обороте — $x \in [\pi, \frac{4\pi}{3})$.

Так как наименьший общий период для функций $\tg x$ и $\cos x$ равен $2\pi$, общее решение системы получается добавлением $2\pi k$ к границам найденного промежутка.

Ответ: $x \in [\pi + 2\pi k, \frac{4\pi}{3} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.