Номер 17, страница 175, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Найдите область определения функции (17-18):

17. (2) a) $y=\sqrt{-2\sin x-\sqrt{3}}-\sqrt{6\cos x-3}$;

6) $y=\frac{2\operatorname{tg}x}{\sqrt{3\operatorname{ctg}x+\sqrt{3}}}+\frac{1}{\sqrt{10\sin x-5}}$.

a)

Область определения функции $y = \sqrt{-2\sin x - \sqrt{3}} - \sqrt{6\cos x - 3}$ находится из условий, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} -2\sin x - \sqrt{3} \ge 0 \\ 6\cos x - 3 \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство отдельно.

1. Решим первое неравенство:

$-2\sin x - \sqrt{3} \ge 0$

$-2\sin x \ge \sqrt{3}$

Разделим обе части на -2 и сменим знак неравенства:

$\sin x \le -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Решением этого тригонометрического неравенства является множество $x \in [-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, -\frac{\pi}{3} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Решим второе неравенство:

$6\cos x - 3 \ge 0$

$6\cos x \ge 3$

$\cos x \ge \frac{1}{2}$

Решением этого тригонометрического неравенства является множество $x \in [-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{\pi}{3} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств, то есть найдем значения $x$, которые одновременно удовлетворяют условиям $\sin x \le -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos x \ge \frac{1}{2}$.

Рассмотрим решения на тригонометрической окружности. Множество решений первого неравенства $[-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, -\frac{\pi}{3} + 2\pi n]$ и множество решений второго неравенства $[-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{\pi}{3} + 2\pi n]$ имеют только одну общую точку для каждого периода $2\pi$. Эта точка $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

В этой точке оба неравенства обращаются в равенства:

$\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

Следовательно, система неравенств имеет решение только в этих точках.

Ответ: $D(y) = \{-\frac{\pi}{3} + 2\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\}$.

б)

Область определения функции $y = \frac{2\tg x}{\sqrt{\sqrt{3}\ctg x + \sqrt{3}}} + \frac{1}{\sqrt{10\sin x - 5}}$ находится из следующих условий:

1. Функции $\tg x$ и $\ctg x$ должны быть определены, что означает $\cos x \neq 0$ и $\sin x \neq 0$. Это эквивалентно условию $x \neq \frac{\pi k}{2}$ для любого целого $k$.

2. Выражения под корнями, находящимися в знаменателях, должны быть строго больше нуля.

Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} \sqrt{3}\ctg x + \sqrt{3} > 0 \\ 10\sin x - 5 > 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство отдельно.

1. Решим первое неравенство:

$\sqrt{3}\ctg x + \sqrt{3} > 0$

$\sqrt{3}(\ctg x + 1) > 0$

$\ctg x > -1$

Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (\pi n, \frac{3\pi}{4} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Решим второе неравенство:

$10\sin x - 5 > 0$

$10\sin x > 5$

$\sin x > \frac{1}{2}$

Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{5\pi}{6} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем пересечение множеств решений этих двух неравенств. Период функции $\sin x$ равен $2\pi$, а период функции $\ctg x$ равен $\pi$. Общий период будет $2\pi$. Рассмотрим решения на интервале $[0, 2\pi)$.

Решение для $\ctg x > -1$ на $[0, 2\pi)$ состоит из двух интервалов: $(0, \frac{3\pi}{4})$ и $(\pi, \frac{7\pi}{4})$.

Решение для $\sin x > \frac{1}{2}$ на $[0, 2\pi)$ - это интервал $(\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6})$.

Найдем пересечение $(\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6})$ с объединением $(0, \frac{3\pi}{4}) \cup (\pi, \frac{7\pi}{4})$.

Пересечение $(\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6})$ с $(0, \frac{3\pi}{4})$ дает интервал $(\frac{\pi}{6}, \frac{3\pi}{4})$, так как $\frac{\pi}{6} > 0$ и $\frac{3\pi}{4} < \frac{5\pi}{6}$ (поскольку $9\pi < 10\pi$).

Пересечение $(\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6})$ с $(\pi, \frac{7\pi}{4})$ пусто, так как $\frac{5\pi}{6} < \pi$.

Следовательно, решением на интервале $[0, 2\pi)$ является $(\frac{\pi}{6}, \frac{3\pi}{4})$. Учитывая периодичность $2\pi$, получаем общую область определения.

Ответ: $D(y) = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} (\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{3\pi}{4} + 2\pi n)$.