Номер 39, страница 176, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

39. (2) Упростите:

$(\frac{1+\sqrt{1-x}}{1-x+\sqrt{1-x}} + \frac{1-\sqrt{1+x}}{1+x-\sqrt{1+x}})^2 \cdot \frac{x^2-1}{2} + 1.$

Для упрощения данного выражения сначала определим его область допустимых значений (ОДЗ).

1. Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:
$1-x \ge 0 \implies x \le 1$
$1+x \ge 0 \implies x \ge -1$
Следовательно, $x \in [-1, 1]$.

2. Знаменатели дробей не должны равняться нулю:
$1-x+\sqrt{1-x} = (\sqrt{1-x})^2+\sqrt{1-x} = \sqrt{1-x}(1+\sqrt{1-x})$. Этот знаменатель равен нулю, если $\sqrt{1-x}=0$, так как $1+\sqrt{1-x}>0$. Значит, $1-x \neq 0 \implies x \neq 1$.
$1+x-\sqrt{1+x} = (\sqrt{1+x})^2-\sqrt{1+x} = \sqrt{1+x}(\sqrt{1+x}-1)$. Этот знаменатель равен нулю, если $\sqrt{1+x}=0$ или $\sqrt{1+x}=1$.
$\sqrt{1+x} \neq 0 \implies 1+x \neq 0 \implies x \neq -1$.
$\sqrt{1+x} \neq 1 \implies 1+x \neq 1 \implies x \neq 0$.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (-1, 0) \cup (0, 1)$.

Теперь приступим к упрощению выражения по действиям.

Действие 1. Упростим дроби в скобках.
Первая дробь: $\frac{1+\sqrt{1-x}}{1-x+\sqrt{1-x}} = \frac{1+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x}(1+\sqrt{1-x})} = \frac{1}{\sqrt{1-x}}$.
Вторая дробь: $\frac{1-\sqrt{1+x}}{1+x-\sqrt{1+x}} = \frac{1-\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}(\sqrt{1+x}-1)} = \frac{-(\sqrt{1+x}-1)}{\sqrt{1+x}(\sqrt{1+x}-1)} = -\frac{1}{\sqrt{1+x}}$.

Действие 2. Выполним действия в скобках.
$\frac{1}{\sqrt{1-x}} + (-\frac{1}{\sqrt{1+x}}) = \frac{1}{\sqrt{1-x}} - \frac{1}{\sqrt{1+x}} = \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x}\sqrt{1+x}} = \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x^2}}$.

Действие 3. Возведем результат в квадрат.
$\left(\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x^2}}\right)^2 = \frac{(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})^2}{(\sqrt{1-x^2})^2} = \frac{(1+x) - 2\sqrt{(1+x)(1-x)} + (1-x)}{1-x^2} = \frac{2-2\sqrt{1-x^2}}{1-x^2} = \frac{2(1-\sqrt{1-x^2})}{1-x^2}$.

Действие 4. Выполним умножение и сложение.
$\frac{2(1-\sqrt{1-x^2})}{1-x^2} \cdot \frac{x^2-1}{2} + 1$.
Заменим $\frac{x^2-1}{2}$ на $\frac{-(1-x^2)}{2}$:
$\frac{2(1-\sqrt{1-x^2})}{1-x^2} \cdot \frac{-(1-x^2)}{2} + 1$.
Сократим $2$ и $(1-x^2)$ (это возможно, так как в ОДЗ $x \neq \pm 1$):
$-(1-\sqrt{1-x^2}) + 1 = -1 + \sqrt{1-x^2} + 1 = \sqrt{1-x^2}$.

Ответ: $\sqrt{1-x^2}$