Номер 5, страница 166, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

5. (2)

a) $cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}$;

б) $cos \frac{x}{7} \geq -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

В) $2cos \frac{3x}{2} < \sqrt{2}$;

г) $2cos \left(x + \frac{\pi}{5}\right) + \sqrt{2} \leq 0$;

д) $\sqrt{2} - 2cos \left(x + \frac{5\pi}{6}\right) \geq 0$.

а)

Решим неравенство $\cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}$.

На единичной окружности значения косинуса, большие $\frac{\sqrt{2}}{2}$, соответствуют дуге, расположенной правее прямой $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Концами этой дуги являются точки, соответствующие углам $-\frac{\pi}{4}$ и $\frac{\pi}{4}$.

Таким образом, решение для одного оборота: $-\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4}$.

Учитывая периодичность функции косинуса (период $2\pi$), общее решение неравенства имеет вид:

$-\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{\pi}{4} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

б)

Решим неравенство $\cos \frac{x}{7} \ge -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Сделаем замену переменной: $t = \frac{x}{7}$. Неравенство примет вид $\cos t \ge -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решениями уравнения $\cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ являются $t = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$.

На единичной окружности значения косинуса, большие или равные $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, соответствуют дуге от $-\frac{3\pi}{4}$ до $\frac{3\pi}{4}$.

Следовательно, $-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le t \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le \frac{x}{7} \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$.

Умножим все части неравенства на 7:

$-\frac{21\pi}{4} + 14\pi k \le x \le \frac{21\pi}{4} + 14\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [-\frac{21\pi}{4} + 14\pi k; \frac{21\pi}{4} + 14\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

в)

Решим неравенство $2\cos\frac{3x}{2} < \sqrt{2}$.

Разделим обе части на 2: $\cos\frac{3x}{2} < \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Сделаем замену переменной: $t = \frac{3x}{2}$. Неравенство примет вид $\cos t < \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решениями уравнения $\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ являются $t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$.

На единичной окружности значения косинуса, меньшие $\frac{\sqrt{2}}{2}$, соответствуют дуге от $\frac{\pi}{4}$ до $2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$.

Следовательно, $\frac{\pi}{4} + 2\pi k < t < \frac{7\pi}{4} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$\frac{\pi}{4} + 2\pi k < \frac{3x}{2} < \frac{7\pi}{4} + 2\pi k$.

Умножим все части неравенства на $\frac{2}{3}$:

$\frac{2}{3}(\frac{\pi}{4} + 2\pi k) < x < \frac{2}{3}(\frac{7\pi}{4} + 2\pi k)$.

$\frac{\pi}{6} + \frac{4\pi k}{3} < x < \frac{7\pi}{6} + \frac{4\pi k}{3}, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{6} + \frac{4\pi k}{3}; \frac{7\pi}{6} + \frac{4\pi k}{3}), k \in \mathbb{Z}$.

г)

Решим неравенство $2\cos(x+\frac{\pi}{5})+\sqrt{2} \le 0$.

Преобразуем неравенство:

$2\cos(x+\frac{\pi}{5}) \le -\sqrt{2}$

$\cos(x+\frac{\pi}{5}) \le -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Сделаем замену переменной: $t = x+\frac{\pi}{5}$. Неравенство примет вид $\cos t \le -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решениями уравнения $\cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ являются $t = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$.

На единичной окружности значения косинуса, меньшие или равные $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, соответствуют дуге от $\frac{3\pi}{4}$ до $2\pi - \frac{3\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$.

Следовательно, $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le t \le \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le x + \frac{\pi}{5} \le \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$.

Вычтем $\frac{\pi}{5}$ из всех частей неравенства:

$\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{5} + 2\pi k \le x \le \frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{5} + 2\pi k$.

$\frac{15\pi - 4\pi}{20} + 2\pi k \le x \le \frac{25\pi - 4\pi}{20} + 2\pi k$.

$\frac{11\pi}{20} + 2\pi k \le x \le \frac{21\pi}{20} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{11\pi}{20} + 2\pi k; \frac{21\pi}{20} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

д)

Решим неравенство $\sqrt{2} - 2\cos(x + \frac{5\pi}{6}) \ge 0$.

Преобразуем неравенство:

$\sqrt{2} \ge 2\cos(x + \frac{5\pi}{6})$

$\frac{\sqrt{2}}{2} \ge \cos(x + \frac{5\pi}{6})$ или $\cos(x + \frac{5\pi}{6}) \le \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Сделаем замену переменной: $t = x + \frac{5\pi}{6}$. Неравенство примет вид $\cos t \le \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решениями уравнения $\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ являются $t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$.

На единичной окружности значения косинуса, меньшие или равные $\frac{\sqrt{2}}{2}$, соответствуют дуге от $\frac{\pi}{4}$ до $2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$.

Следовательно, $\frac{\pi}{4} + 2\pi k \le t \le \frac{7\pi}{4} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$\frac{\pi}{4} + 2\pi k \le x + \frac{5\pi}{6} \le \frac{7\pi}{4} + 2\pi k$.

Вычтем $\frac{5\pi}{6}$ из всех частей неравенства:

$\frac{\pi}{4} - \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{7\pi}{4} - \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.

$\frac{3\pi - 10\pi}{12} + 2\pi k \le x \le \frac{21\pi - 10\pi}{12} + 2\pi k$.

$-\frac{7\pi}{12} + 2\pi k \le x \le \frac{11\pi}{12} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [-\frac{7\pi}{12} + 2\pi k; \frac{11\pi}{12} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.