Номер 4, страница 166, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Решите неравенства:

4. (2) а) $cos x+1>0;$

б) $cos 2x \ge 1;$

В) $cos \frac{x}{3+2x} \le 1;$

г) $cos \left(x+\frac{\pi}{11}\right) \le -1;$

д) $cos \sqrt{\frac{4x}{5}+\frac{4\pi}{5}} \le 1.$

а) Исходное неравенство: $ \cos x + 1 > 0 $. Перенесем 1 в правую часть: $ \cos x > -1 $. Область значений функции косинуса — отрезок $ [-1, 1] $. Это означает, что для любого действительного числа $ x $ выполняется неравенство $ \cos x \geq -1 $. Таким образом, чтобы выполнялось строгое неравенство $ \cos x > -1 $, нужно исключить те значения $ x $, при которых $ \cos x = -1 $. Решим уравнение $ \cos x = -1 $. Его решения: $ x = \pi + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. Следовательно, решением исходного неравенства являются все действительные числа, кроме $ \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x \neq \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б) Исходное неравенство: $ \cos 2x \geq 1 $. Так как область значений функции косинуса — отрезок $ [-1, 1] $, то $ \cos 2x $ не может быть больше 1. Следовательно, данное неравенство равносильно уравнению $ \cos 2x = 1 $. Решим это уравнение. Аргумент косинуса должен быть равен $ 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
$ 2x = 2\pi k $
Разделим обе части на 2:
$ x = \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

в) Исходное неравенство: $ \cos\frac{x}{3+2x} \leq 1 $. Область значений функции косинуса — отрезок $ [-1, 1] $. Поэтому неравенство $ \cos t \leq 1 $ верно для любого значения аргумента $ t $, при котором функция определена. Следовательно, нам нужно найти область определения выражения $ \cos\frac{x}{3+2x} $. Функция определена, когда ее аргумент $ \frac{x}{3+2x} $ является действительным числом. Это дробно-рациональная функция, которая определена при всех $ x $, кроме тех, что обращают знаменатель в ноль. Найдем значение $ x $, при котором знаменатель равен нулю:
$ 3 + 2x = 0 $
$ 2x = -3 $
$ x = -\frac{3}{2} $
Таким образом, неравенство выполняется для всех $ x $, кроме $ x = -1.5 $.
Ответ: $ x \neq -\frac{3}{2} $.

г) Исходное неравенство: $ \cos\left(x+\frac{\pi}{11}\right) \leq -1 $. Так как область значений функции косинуса — отрезок $ [-1, 1] $, то $ \cos\left(x+\frac{\pi}{11}\right) $ не может быть меньше -1. Следовательно, данное неравенство равносильно уравнению $ \cos\left(x+\frac{\pi}{11}\right) = -1 $. Решим это уравнение. Аргумент косинуса должен быть равен $ \pi + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
$ x+\frac{\pi}{11} = \pi + 2\pi k $
Выразим $ x $:
$ x = \pi - \frac{\pi}{11} + 2\pi k $
$ x = \frac{11\pi - \pi}{11} + 2\pi k $
$ x = \frac{10\pi}{11} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = \frac{10\pi}{11} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

д) Исходное неравенство: $ \cos\sqrt{\frac{4x}{5}+\frac{4\pi}{5}} \leq 1 $. Область значений функции косинуса — отрезок $ [-1, 1] $. Поэтому неравенство $ \cos t \leq 1 $ верно для любого значения аргумента $ t $, при котором функция определена. Следовательно, нам нужно найти область определения выражения $ \cos\sqrt{\frac{4x}{5}+\frac{4\pi}{5}} $. Функция определена, когда ее аргумент $ \sqrt{\frac{4x}{5}+\frac{4\pi}{5}} $ является действительным числом. Это возможно, когда подкоренное выражение неотрицательно. Решим неравенство:
$ \frac{4x}{5}+\frac{4\pi}{5} \geq 0 $
Умножим обе части на $ \frac{5}{4} $:
$ x + \pi \geq 0 $
$ x \geq -\pi $
Таким образом, неравенство выполняется для всех $ x \geq -\pi $.
Ответ: $ x \in [-\pi; +\infty) $.