Номер 1, страница 161, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Решите неравенства (1-3):

1.

a) $sin x > 0$;

б) $sin 3x \ge 0$;

в) $sin \frac{x}{3} < 0$;

г) $sin \left(x - \frac{\pi}{6}\right) \le 0$;

д) $sin \left(\frac{5x}{6} - \frac{5\pi}{6}\right) \le 0$.

a) Для решения неравенства $sin x > 0$ воспользуемся единичной тригонометрической окружностью. Синус (ордината точки на окружности) положителен в первой и второй координатных четвертях. Это соответствует углам, принадлежащим интервалу $(0, \pi)$. Так как функция синуса периодическая с периодом $2\pi$, то к концам найденного интервала необходимо прибавить $2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in Z$). Таким образом, получаем общее решение в виде двойного неравенства.
$2\pi k < x < \pi + 2\pi k, k \in Z$.
Ответ: $x \in (2\pi k; \pi + 2\pi k), k \in Z$.

б) Введем новую переменную $t = 3x$. Неравенство примет вид $sin t \ge 0$. Решением этого базового неравенства является множество значений $t$, при которых синус неотрицателен. Это соответствует углам в первой и второй четвертях, включая границы. С учетом периодичности, решение для $t$ записывается так: $2\pi k \le t \le \pi + 2\pi k, k \in Z$. Теперь вернемся к исходной переменной $x$, подставив $3x$ вместо $t$: $2\pi k \le 3x \le \pi + 2\pi k$. Чтобы найти $x$, разделим все части этого двойного неравенства на 3.
$\frac{2\pi k}{3} \le x \le \frac{\pi + 2\pi k}{3}$.
Ответ: $x \in [\frac{2\pi k}{3}; \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}], k \in Z$.

в) Решим неравенство $sin\frac{x}{3} < 0$. Сделаем замену $t = \frac{x}{3}$. Получим простейшее неравенство $sin t < 0$. Функция синуса принимает отрицательные значения в третьей и четвертой координатных четвертях, что соответствует интервалу углов $(\pi, 2\pi)$. Учитывая периодичность, общее решение для $t$ имеет вид: $\pi + 2\pi k < t < 2\pi + 2\pi k, k \in Z$. Выполним обратную замену: $\pi + 2\pi k < \frac{x}{3} < 2\pi + 2\pi k$. Для того чтобы выразить $x$, умножим все части неравенства на 3.
$3(\pi + 2\pi k) < x < 3(2\pi + 2\pi k)$, что дает $3\pi + 6\pi k < x < 6\pi + 6\pi k$.
Ответ: $x \in (3\pi + 6\pi k; 6\pi + 6\pi k), k \in Z$.

г) Чтобы решить неравенство $sin(x - \frac{\pi}{6}) \le 0$, введем замену переменной $t = x - \frac{\pi}{6}$. Неравенство примет вид $sin t \le 0$. Синус неположителен в третьей и четвертой четвертях, включая их границы. Этот промежуток можно записать как $[\pi, 2\pi]$ или, что удобнее для дальнейших вычислений, как $[-\pi, 0]$. С учетом периода $2\pi$, получаем: $-\pi + 2\pi k \le t \le 0 + 2\pi k, k \in Z$. Произведем обратную замену: $-\pi + 2\pi k \le x - \frac{\pi}{6} \le 2\pi k$. Чтобы найти $x$, прибавим $\frac{\pi}{6}$ ко всем частям двойного неравенства.
$-\pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{6} + 2\pi k$.
$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{6} + 2\pi k$.
Ответ: $x \in [-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi k], k \in Z$.

д) Решим неравенство $sin(\frac{5x}{6} - \frac{5\pi}{6}) \le 0$. Введем замену $t = \frac{5x}{6} - \frac{5\pi}{6}$. Неравенство сведется к $sin t \le 0$. Как и в предыдущем пункте, решением для $t$ является промежуток $-\pi + 2\pi k \le t \le 0 + 2\pi k, k \in Z$. Сделаем обратную замену.
$-\pi + 2\pi k \le \frac{5x}{6} - \frac{5\pi}{6} \le 2\pi k$.
Прибавим ко всем частям неравенства $\frac{5\pi}{6}$.
$-\pi + \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le \frac{5x}{6} \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.
$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le \frac{5x}{6} \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.
Теперь умножим все части неравенства на $\frac{6}{5}$.
$\frac{6}{5}(-\frac{\pi}{6} + 2\pi k) \le x \le \frac{6}{5}(\frac{5\pi}{6} + 2\pi k)$.
$-\frac{\pi}{5} + \frac{12\pi k}{5} \le x \le \pi + \frac{12\pi k}{5}$.
Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{5} + \frac{12\pi k}{5}; \pi + \frac{12\pi k}{5}], k \in Z$.