Номер 24, страница 156, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

24. $ \cos^4 x - \sin^4 x = \sin 4x $

Дано тригонометрическое уравнение:

$cos^4 x - sin^4 x = sin 4x$

Для решения данного уравнения воспользуемся тригонометрическими формулами. Сначала преобразуем левую часть уравнения.

Левая часть представляет собой разность квадратов: $cos^4 x - sin^4 x = (cos^2 x)^2 - (sin^2 x)^2$.

Применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$(cos^2 x)^2 - (sin^2 x)^2 = (cos^2 x - sin^2 x)(cos^2 x + sin^2 x)$

Теперь используем основное тригонометрическое тождество $sin^2 x + cos^2 x = 1$ и формулу косинуса двойного угла $cos(2x) = cos^2 x - sin^2 x$.

Подставляя эти тождества в преобразованное выражение, получаем:

$(cos^2 x - sin^2 x)(cos^2 x + sin^2 x) = cos(2x) \cdot 1 = cos(2x)$

Таким образом, исходное уравнение можно переписать в виде:

$cos(2x) = sin(4x)$

Теперь преобразуем правую часть уравнения, используя формулу синуса двойного угла $sin(2a) = 2sin(a)cos(a)$. В нашем случае $a = 2x$, поэтому:

$sin(4x) = 2sin(2x)cos(2x)$

Подставляем это выражение обратно в уравнение:

$cos(2x) = 2sin(2x)cos(2x)$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и вынесем общий множитель $cos(2x)$ за скобки:

$cos(2x) - 2sin(2x)cos(2x) = 0$

$cos(2x)(1 - 2sin(2x)) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $cos(2x) = 0$

2) $1 - 2sin(2x) = 0$

Решим каждое уравнение по отдельности.

Решение первого уравнения:

$cos(2x) = 0$

Это частный случай тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ - любое целое число ($k \in Z$).

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in Z$.

Решение второго уравнения:

$1 - 2sin(2x) = 0$

$2sin(2x) = 1$

$sin(2x) = \frac{1}{2}$

Общее решение этого уравнения записывается как:

$2x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n$ - любое целое число ($n \in Z$).

Поскольку $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$, получаем:

$2x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in Z$.

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in Z$.

Общее решение исходного уравнения является объединением решений обоих уравнений.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$; $x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, где $k, n \in Z$.