Номер 18, страница 156, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

18. $\cot x + 1 + \cos x + \sin x = 0.$

Дано тригонометрическое уравнение: $\text{ctg } x + 1 + \cos x + \sin x = 0$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Функция котангенса $\text{ctg } x = \frac{\cos x}{\sin x}$ определена только тогда, когда ее знаменатель не равен нулю, то есть $\sin x \neq 0$. Это означает, что $x \neq \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Теперь приступим к решению уравнения. Заменим $\text{ctg } x$ на $\frac{\cos x}{\sin x}$:

$\frac{\cos x}{\sin x} + 1 + \cos x + \sin x = 0$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на $\sin x$. Мы можем это сделать, так как, согласно ОДЗ, $\sin x \neq 0$.

$\cos x + \sin x + \cos x \sin x + \sin^2 x = 0$

Сгруппируем слагаемые для дальнейшего разложения на множители:

$(\sin x + \cos x) + (\sin^2 x + \sin x \cos x) = 0$

Из второй группы слагаемых вынесем общий множитель $\sin x$:

$(\sin x + \cos x) + \sin x (\sin x + \cos x) = 0$

Теперь мы видим общий множитель $(\sin x + \cos x)$, который можно вынести за скобки:

$(\sin x + \cos x)(1 + \sin x) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Это приводит нас к двум независимым уравнениям.

1. Решим первое уравнение: $\sin x + \cos x = 0$

Перенесем $\cos x$ в правую часть: $\sin x = -\cos x$.

Разделим обе части уравнения на $\cos x$. Это действие корректно, так как если бы $\cos x = 0$, то из уравнения следовало бы, что и $\sin x = 0$. Однако одновременное равенство синуса и косинуса нулю невозможно в силу основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

Получаем: $\frac{\sin x}{\cos x} = -1$, что равносильно $\text{tg } x = -1$.

Решения этого уравнения имеют вид: $x = \text{arctg}(-1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Эта серия корней удовлетворяет ОДЗ, так как для этих значений $x$ синус равен $\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$, что не равно нулю.

2. Решим второе уравнение: $1 + \sin x = 0$

Отсюда получаем $\sin x = -1$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение, его решение: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Эта серия корней также удовлетворяет ОДЗ, так как $\sin x = -1 \neq 0$.

Таким образом, мы нашли две серии корней, которые являются решением исходного уравнения.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.