Номер 12, страница 156, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

12. $3\text{tg}^3 x - 10\text{tg}^2 x + 3\text{tg}x = 0$

Решим данное тригонометрическое уравнение $3\operatorname{tg}^3 x - 10\operatorname{tg}^2 x + 3\operatorname{tg} x = 0$.

Данное уравнение является кубическим относительно $\operatorname{tg} x$. Чтобы его решить, введем замену переменной. Пусть $t = \operatorname{tg} x$. Тогда уравнение примет следующий вид:

$3t^3 - 10t^2 + 3t = 0$

Вынесем общий множитель $t$ за скобки:

$t(3t^2 - 10t + 3) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем совокупность двух уравнений:

1) $t = 0$

2) $3t^2 - 10t + 3 = 0$

Решим второе уравнение, которое является квадратным. Для этого найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_1 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$t_2 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Итак, мы получили три значения для переменной $t$: $0$, $3$ и $\frac{1}{3}$.

Теперь необходимо выполнить обратную замену $t = \operatorname{tg} x$ для каждого найденного значения $t$ и решить получившиеся простейшие тригонометрические уравнения.

При $t = 0$ имеем $\operatorname{tg} x = 0$. Решением является $x = \operatorname{arctg}(0) + \pi n$, что дает $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

При $t = 3$ имеем $\operatorname{tg} x = 3$. Решением является $x = \operatorname{arctg}(3) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

При $t = \frac{1}{3}$ имеем $\operatorname{tg} x = \frac{1}{3}$. Решением является $x = \operatorname{arctg}\left(\frac{1}{3}\right) + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Все найденные серии корней входят в область допустимых значений функции тангенса ($x \neq \frac{\pi}{2} + \pi l, l \in \mathbb{Z}$).

Ответ: $\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $\operatorname{arctg}(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $\operatorname{arctg}\left(\frac{1}{3}\right) + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.