gdz.top
Номер 11, страница 156, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы
Авторы: Пак О. В., Ардакулы Д., Ескендирова Е. В.
Тип: Учебник
Издательство: Алматыкітап баспасы
Год издания: 2019 - 2025
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-01-3958-9
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 10 классе
Часть 1. Глава 3. Тригонометрические уравнения и неравенства. Параграф 2. Методы решения тригонометрических уравнений. 2.4. Метод разложения на множители. Задачи - номер 11, страница 156.
№10
№11 (с. 156)
Условие. №11 (с. 156)
11. $ \cos^4 \pi x - \sin^4 \pi x = \cos^2 2\pi x . $
Решение 2 (rus). №11 (с. 156)
Для решения данного уравнения $\cos^4(\pi x) - \sin^4(\pi x) = \cos^2(2\pi x)$ преобразуем его левую часть.
Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. В нашем случае $a = \cos^2(\pi x)$ и $b = \sin^2(\pi x)$.
$\cos^4(\pi x) - \sin^4(\pi x) = (\cos^2(\pi x) - \sin^2(\pi x))(\cos^2(\pi x) + \sin^2(\pi x))$.
Теперь применим два тригонометрических тождества:
1. Основное тригонометрическое тождество: $\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$.
2. Формула косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)$.
Подставив $\alpha = \pi x$ в эти формулы, мы получим:
$\cos^2(\pi x) + \sin^2(\pi x) = 1$.
$\cos^2(\pi x) - \sin^2(\pi x) = \cos(2\pi x)$.
Таким образом, левая часть исходного уравнения упрощается до $\cos(2\pi x) \cdot 1 = \cos(2\pi x)$.
Теперь исходное уравнение принимает вид:
$\cos(2\pi x) = \cos^2(2\pi x)$.
Перенесем все члены в одну сторону:
$\cos^2(2\pi x) - \cos(2\pi x) = 0$.
Вынесем общий множитель $\cos(2\pi x)$ за скобки:
$\cos(2\pi x)(\cos(2\pi x) - 1) = 0$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум случаям:
Случай 1: $\cos(2\pi x) = 0$.
Общее решение этого уравнения имеет вид $2\pi x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Чтобы найти $x$, разделим обе части на $2\pi$:
$x = \frac{\pi/2}{2\pi} + \frac{\pi k}{2\pi} = \frac{1}{4} + \frac{k}{2}$.
Случай 2: $\cos(2\pi x) - 1 = 0$, что равносильно $\cos(2\pi x) = 1$.
Общее решение этого уравнения имеет вид $2\pi x = 2\pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).
Чтобы найти $x$, разделим обе части на $2\pi$:
$x = n$.
Объединяя решения из обоих случаев, мы получаем две серии корней для исходного уравнения.
Ответ: $x = n$; $x = \frac{1}{4} + \frac{k}{2}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 11 расположенного на странице 156 для 1-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №11 (с. 156), авторов: Пак (Олег Владимирович), Ардакулы (Дархан ), Ескендирова (Елена Викторовна), 1-й части учебного пособия издательства Алматыкітап баспасы.