Номер 17, страница 151, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

17. (3) $\sin^4 x \cos^2 x - 3 \sin^2 x \cos^4 x - 2 \sin^3 x \cos^3 x = 0$

Исходное уравнение:

$3\sin^4x\cos^2x - 3\sin^2x\cos^4x - 2\sin^3x\cos^3x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin^2x\cos^2x$ за скобки:

$\sin^2x\cos^2x(3\sin^2x - 3\cos^2x - 2\sin x\cos x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений.

1. Первое уравнение:

$\sin^2x\cos^2x = 0$

Это уравнение равносильно тому, что $\sin x \cos x = 0$.

Это означает, что либо $\sin x = 0$, либо $\cos x = 0$.

Решения для $\sin x = 0$ имеют вид $x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решения для $\cos x = 0$ имеют вид $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии решений можно объединить в одну общую серию: $x = \frac{m\pi}{2}$, где $m \in \mathbb{Z}$.

2. Второе уравнение:

$3\sin^2x - 3\cos^2x - 2\sin x\cos x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Чтобы его решить, сначала проверим, может ли $\cos x$ быть равным нулю. Если предположить, что $\cos x = 0$, то уравнение примет вид $3\sin^2x - 0 - 0 = 0$, что влечет за собой $\sin x = 0$. Однако, $\sin x$ и $\cos x$ не могут одновременно равняться нулю, так как основное тригонометрическое тождество гласит $\sin^2x + \cos^2x = 1$. Следовательно, в этом уравнении $\cos x \neq 0$.

Поскольку $\cos x \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2x$:

$\frac{3\sin^2x}{\cos^2x} - \frac{3\cos^2x}{\cos^2x} - \frac{2\sin x\cos x}{\cos^2x} = 0$

$3\tan^2x - 3 - 2\tan x = 0$

Перепишем уравнение в стандартном виде относительно $\tan x$:

$3\tan^2x - 2\tan x - 3 = 0$

Сделаем замену переменной: пусть $t = \tan x$. Тогда получим квадратное уравнение:

$3t^2 - 2t - 3 = 0$

Решим это уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения. Сначала найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 4 + 36 = 40$

Теперь найдем значения $t$:

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm 2\sqrt{10}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{10}}{3}$

Мы получили два возможных значения для $t$. Вернемся к исходной переменной $x$:

$\tan x = \frac{1 + \sqrt{10}}{3}$ или $\tan x = \frac{1 - \sqrt{10}}{3}$

Из этих уравнений получаем еще две серии решений:

$x = \arctan\left(\frac{1 + \sqrt{10}}{3}\right) + p\pi, p \in \mathbb{Z}$

$x = \arctan\left(\frac{1 - \sqrt{10}}{3}\right) + q\pi, q \in \mathbb{Z}$

Объединяя все найденные решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{m\pi}{2}$; $x = \arctan\left(\frac{1 + \sqrt{10}}{3}\right) + p\pi$; $x = \arctan\left(\frac{1 - \sqrt{10}}{3}\right) + q\pi$, где $m, p, q \in \mathbb{Z}$.