Номер 14, страница 151, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

14. (3) $\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}=0$. Определите число корней на отрезке $[-5\pi; 5\pi]$.

Для решения данного тригонометрического уравнения $sin\frac{x}{2} + cos\frac{x}{2} = 0$ разделим обе его части на $cos\frac{x}{2}$.

Это действие является корректным, так как если предположить, что $cos\frac{x}{2} = 0$, то из исходного уравнения получится, что и $sin\frac{x}{2} = 0$. Однако синус и косинус одного и того же угла не могут одновременно равняться нулю, что следует из основного тригонометрического тождества $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$. Следовательно, $cos\frac{x}{2} \neq 0$.

После деления получим:

$\frac{sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}} + \frac{cos\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}} = 0$

$tan\frac{x}{2} + 1 = 0$

$tan\frac{x}{2} = -1$

Теперь найдем общее решение этого уравнения.

$\frac{x}{2} = arctan(-1) + \pi n$, где $n \in Z$.

$\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} + \pi n$

Выразим $x$, умножив обе части на 2:

$x = 2 \cdot (-\frac{\pi}{4} + \pi n)$

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Далее необходимо определить, сколько корней принадлежит отрезку $[-5\pi; 5\pi]$. Для этого решим двойное неравенство относительно $n$:

$-5\pi \le -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le 5\pi$

Разделим все части неравенства на $\pi$ (так как $\pi > 0$, знаки неравенства не меняются):

$-5 \le -\frac{1}{2} + 2n \le 5$

Прибавим $\frac{1}{2}$ ко всем частям неравенства:

$-5 + \frac{1}{2} \le 2n \le 5 + \frac{1}{2}$

$-4.5 \le 2n \le 5.5$

Разделим все части неравенства на 2:

$-\frac{4.5}{2} \le n \le \frac{5.5}{2}$

$-2.25 \le n \le 2.75$

Поскольку $n$ является целым числом ($n \in Z$), то в данный промежуток попадают следующие значения $n$:

$n = -2, -1, 0, 1, 2$.

Всего мы получили 5 возможных целых значений для $n$. Каждое значение $n$ соответствует одному уникальному корню на заданном отрезке. Таким образом, число корней уравнения на отрезке $[-5\pi; 5\pi]$ равно 5.

Ответ: 5.