Номер 10, страница 151, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

10. (3) $2 + \cos^2 3x = 2,5 \sin 6x.$

Исходное уравнение: $2 + \cos^2(3x) = 2.5 \sin(6x)$.Для решения данного тригонометрического уравнения приведем все функции к одному аргументу. Воспользуемся формулой понижения степени для косинуса: $\cos^2(\alpha) = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.

Применим эту формулу для $\cos^2(3x)$:$\cos^2(3x) = \frac{1 + \cos(2 \cdot 3x)}{2} = \frac{1 + \cos(6x)}{2}$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:$2 + \frac{1 + \cos(6x)}{2} = 2.5 \sin(6x)$.

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:$4 + 1 + \cos(6x) = 5 \sin(6x)$,$5 + \cos(6x) = 5 \sin(6x)$.

Теперь воспользуемся методом оценки, сравнив области значений левой и правой частей уравнения.

1. Оценим левую часть (ЛЧ): $5 + \cos(6x)$.
Поскольку область значений функции косинус $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos(6x) \le 1$, то для левой части получаем:$5 - 1 \le 5 + \cos(6x) \le 5 + 1$,$4 \le 5 + \cos(6x) \le 6$.
Таким образом, множество значений левой части — это отрезок $[4, 6]$.

2. Оценим правую часть (ПЧ): $5 \sin(6x)$.
Поскольку область значений функции синус $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin(6x) \le 1$, то для правой части получаем:$5 \cdot (-1) \le 5 \sin(6x) \le 5 \cdot 1$,$-5 \le 5 \sin(6x) \le 5$.
Таким образом, множество значений правой части — это отрезок $[-5, 5]$.

Равенство $ЛЧ = ПЧ$ возможно только в том случае, если их значения совпадают. Это может произойти только для значений, которые принадлежат пересечению их областей значений: $[4, 6] \cap [-5, 5]$. Единственное число, которое входит в оба отрезка, — это 5.

Следовательно, исходное уравнение равносильно системе уравнений:$\begin{cases} 5 + \cos(6x) = 5 \\ 5 \sin(6x) = 5 \end{cases}$,что упрощается до:$\begin{cases} \cos(6x) = 0 \\ \sin(6x) = 1 \end{cases}$.

Условие $\cos(6x) = 0$ является следствием условия $\sin(6x) = 1$ (согласно основному тригонометрическому тождеству $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$). Поэтому для нахождения решения достаточно решить одно уравнение:$\sin(6x) = 1$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение, его решение имеет вид:$6x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделив обе части на 6, найдем $x$:$x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{6}$,$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.