Номер 6, страница 151, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

6. (3) $10\sin^2 x + 5\sin x \cos x + \cos^2 x = 3$.

1. Преобразование правой части

• Представим число 3 в правой части через основное тригонометрическое тождество:
  $3 = 3(\sin^2 x + \cos^2 x) = 3\sin^2 x + 3\cos^2 x$.
• Подставим это выражение в исходное уравнение:
  $10\sin^2 x + 5\sin x \cos x + \cos^2 x = 3\sin^2 x + 3\cos^2 x$.

Ответ: Уравнение приведено к виду $7\sin^2 x + 5\sin x \cos x - 2\cos^2 x = 0$.

2. Решение однородного уравнения

• Проверим, является ли $\cos x = 0$ корнем. Если $\cos x = 0$, то $7\sin^2 x = 0 \implies \sin x = 0$, что невозможно одновременно. Значит, можно разделить обе части на $\cos^2 x \neq 0$.
• Разделим уравнение на $\cos^2 x$:
  $7\text{tg}^2 x + 5\text{tg} x - 2 = 0$.
• Введем замену $a = \text{tg} x$. Получаем квадратное уравнение:
  $7a^2 + 5a - 2 = 0$.
• Найдем корни через дискриминант: $D = 25 - 4 \cdot 7 \cdot (-2) = 25 + 56 = 81$.
  $a_1 = \frac{-5 + 9}{14} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$
  $a_2 = \frac{-5 - 9}{14} = -1$.

Ответ: Получены значения $\text{tg} x = 2/7$ и $\text{tg} x = -1$.

3. Нахождение x

• Для $\text{tg} x = -1$:
  $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
• Для $\text{tg} x = \frac{2}{7}$:
  $x = \text{arctg}\left(\frac{2}{7}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k; x = \text{arctg}\left(\frac{2}{7}\right) + \pi n, k, n \in \mathbb{Z}$.