Номер 22, страница 147, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

22. (2) Между числами 36 и $2\frac{1}{4}$ вставьте три числа так, чтобы вместе с данными числами они составили геометрическую прогрессию.

Пусть дана геометрическая прогрессия $b_n$. По условию, ее первый член $b_1 = 36$. Между первым и последним членами нужно вставить три числа. Это означает, что всего в прогрессии будет $1+3+1 = 5$ членов, а пятый член $b_5 = 2\frac{1}{4}$.

Переведем смешанное число в неправильную дробь: $b_5 = 2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ – знаменатель прогрессии.

Для нашего случая при $n=5$ формула выглядит так: $b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$.

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти знаменатель прогрессии $q$:

$\frac{9}{4} = 36 \cdot q^4$

Выразим из этого уравнения $q^4$:

$q^4 = \frac{9}{4 \cdot 36} = \frac{1}{4 \cdot 4} = \frac{1}{16}$

Из данного уравнения следует, что знаменатель прогрессии $q$ может принимать два действительных значения, так как корень четвертой степени извлекается из положительного числа:

$q_1 = \sqrt[4]{\frac{1}{16}} = \frac{1}{2}$

$q_2 = -\sqrt[4]{\frac{1}{16}} = -\frac{1}{2}$

Таким образом, существуют два возможных набора чисел. Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: Знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{2}$.

Найдем три числа, которые нужно вставить ($b_2, b_3, b_4$):

$b_2 = b_1 \cdot q = 36 \cdot \frac{1}{2} = 18$

$b_3 = b_2 \cdot q = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9$

$b_4 = b_3 \cdot q = 9 \cdot \frac{1}{2} = 4.5$

В этом случае искомые числа: 18, 9, 4.5.

Случай 2: Знаменатель прогрессии $q = -\frac{1}{2}$.

Найдем три числа, которые нужно вставить:

$b_2 = b_1 \cdot q = 36 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -18$

$b_3 = b_2 \cdot q = -18 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 9$

$b_4 = b_3 \cdot q = 9 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -4.5$

В этом случае искомые числа: -18, 9, -4.5.

Ответ: 18; 9; 4,5 или -18; 9; -4,5.