Номер 7, страница 151, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

7. $(3)1+7\cos^2 x=3\sin 2x$.

1. Преобразование уравнения

• Разложим синус двойного угла по формуле $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:
  $1 + 7\cos^2 x = 6\sin x \cos x$.
• Представим единицу как $\sin^2 x + \cos^2 x$:
  $\sin^2 x + \cos^2 x + 7\cos^2 x = 6\sin x \cos x$.
• Приведем подобные слагаемые и перенесем всё в левую часть:
  $\sin^2 x - 6\sin x \cos x + 8\cos^2 x = 0$.

Ответ: Уравнение приведено к однородному виду $\sin^2 x - 6\sin x \cos x + 8\cos^2 x = 0$.

2. Решение однородного уравнения

• Разделим обе части на $\cos^2 x$ (с учетом того, что $\cos x \neq 0$, так как если $\cos x = 0$, то $\sin x = 0$, что противоречит основному тождеству):
  $\text{tg}^2 x - 6\text{tg} x + 8 = 0$.
• Введем замену $t = \text{tg} x$. Получаем квадратное уравнение:
  $t^2 - 6t + 8 = 0$.
• По теореме Виета или через дискриминант найдем корни:
  $t_1 = 2$
  $t_2 = 4$.

Ответ: Корни относительно тангенса равны 2 и 4.

3. Нахождение x

• Для $\text{tg} x = 2$:
  $x = \text{arctg}(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
• Для $\text{tg} x = 4$:
  $x = \text{arctg}(4) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \text{arctg}(2) + \pi k; x = \text{arctg}(4) + \pi n, k, n \in \mathbb{Z}$.