Номер 9, страница 151, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

9. (3) $5\sin^2 x + 5\sin x \cos x = 3$.

Дано тригонометрическое уравнение:

$5\sin^2x + 5\sin x \cos x = 3$

Для решения данного уравнения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2x + \cos^2x = 1$. Заменим число 3 в правой части уравнения на выражение $3(\sin^2x + \cos^2x)$.

$5\sin^2x + 5\sin x \cos x = 3(\sin^2x + \cos^2x)$

Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$5\sin^2x + 5\sin x \cos x - 3\sin^2x - 3\cos^2x = 0$

Приведем подобные члены:

$2\sin^2x + 5\sin x \cos x - 3\cos^2x = 0$

Получилось однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Чтобы его решить, нужно разделить все члены на $\cos^2x$. Предварительно убедимся, что $\cos x \neq 0$. Если предположить, что $\cos x = 0$, то из основного тригонометрического тождества следует, что $\sin^2x = 1$. Подставив $\cos x = 0$ и $\sin^2x = 1$ в полученное однородное уравнение, получим:

$2(1) + 5\sin x \cdot 0 - 3(0)^2 = 0$

$2 = 0$

Это неверное равенство, значит, наше предположение неверно и $\cos x \neq 0$. Следовательно, мы можем разделить уравнение на $\cos^2x$:

$\frac{2\sin^2x}{\cos^2x} + \frac{5\sin x \cos x}{\cos^2x} - \frac{3\cos^2x}{\cos^2x} = 0$

Учитывая, что $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, уравнение примет вид:

$2\tan^2x + 5\tan x - 3 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\tan x$. Сделаем замену $t = \tan x$:

$2t^2 + 5t - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3$

$t_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Теперь вернемся к замене и найдем $x$:

1. $\tan x = -3$. Отсюда первая серия решений: $x = \arctan(-3) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Так как $\arctan$ является нечетной функцией, $\arctan(-3) = -\arctan(3)$, поэтому $x = -\arctan(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. $\tan x = \frac{1}{2}$. Отсюда вторая серия решений: $x = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\arctan(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.