Номер 16, страница 151, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

16. (3)

$\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x - \cos^2 \frac{x}{2} = 0$. Определите сумму корней на отрезке $[2\pi, 3\pi]$.

Для решения уравнения $ \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \cos^2\frac{x}{2} = 0 $ приведем все тригонометрические функции к одному аргументу. Воспользуемся формулой понижения степени для косинуса: $ \cos^2\frac{x}{2} = \frac{1+\cos x}{2} $.

Подставим это выражение в исходное уравнение:$ \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1+\cos x}{2} = 0 $

Умножим обе части уравнения на 2:$ \sqrt{3}\sin x - (1+\cos x) = 0 $$ \sqrt{3}\sin x - \cos x = 1 $

Получили линейное тригонометрическое уравнение. Для его решения применим метод введения вспомогательного угла. Разделим обе части уравнения на $ \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2 $:$ \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x = \frac{1}{2} $

Заметим, что $ \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\frac{\pi}{6} $ и $ \frac{1}{2} = \sin\frac{\pi}{6} $. Уравнение можно переписать, используя формулу синуса разности $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $:$ \sin x \cos\frac{\pi}{6} - \cos x \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $$ \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} $

Решения этого простейшего тригонометрического уравнения задаются совокупностью:$ \left[ \begin{gathered} x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \\ x - \frac{\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k \end{gathered} \right. $ где $ k \in \mathbb{Z} $.

Из первого уравнения совокупности получаем первую серию корней:$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Из второго уравнения совокупности получаем вторую серию корней:$ x = \pi - \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку $ [2\pi, 3\pi] $.Для первой серии корней $ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k $ решим неравенство:$ 2\pi \le \frac{\pi}{3} + 2\pi k \le 3\pi $$ 2 \le \frac{1}{3} + 2k \le 3 $$ \frac{5}{3} \le 2k \le \frac{8}{3} $$ \frac{5}{6} \le k \le \frac{4}{3} $Единственное целое значение $ k $ в этом интервале — $ k=1 $. Соответствующий корень: $ x_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi(1) = \frac{7\pi}{3} $.

Для второй серии корней $ x = \pi + 2\pi k $ решим неравенство:$ 2\pi \le \pi + 2\pi k \le 3\pi $$ 1 \le 2k \le 2 $$ \frac{1}{2} \le k \le 1 $Единственное целое значение $ k $ в этом интервале — $ k=1 $. Соответствующий корень: $ x_2 = \pi + 2\pi(1) = 3\pi $.

На отрезке $ [2\pi, 3\pi] $ уравнение имеет два корня: $ \frac{7\pi}{3} $ и $ 3\pi $.Найдем их сумму:$ \frac{7\pi}{3} + 3\pi = \frac{7\pi}{3} + \frac{9\pi}{3} = \frac{16\pi}{3} $.

Ответ: $ \frac{16\pi}{3} $.