Номер 21, страница 152, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

21. (3)

$3\cos^2 x - 3\cos x + \sin^2 x = 0$. Найдите сумму минимального и максимального корней на отрезке $[4\pi;6\pi]$.

Решение уравнения

Исходное уравнение: $3\cos^2 x - 3\cos x + \sin^2 x = 0$. Для его решения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого выразим $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$. Подставим это выражение в уравнение:

$3\cos^2 x - 3\cos x + (1 - \cos^2 x) = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(3\cos^2 x - \cos^2 x) - 3\cos x + 1 = 0$

$2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $\cos x$. Произведем замену переменной. Пусть $t = \cos x$. Так как значение косинуса находится в пределах от -1 до 1, то и для $t$ справедливо ограничение $|t| \le 1$.

$2t^2 - 3t + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

Оба корня, $t_1 = 1/2$ и $t_2 = 1$, удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Теперь вернемся к переменной $x$.

1. $\cos x = 1$. Общее решение этого уравнения: $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $\cos x = 1/2$. Общее решение этого уравнения: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Нахождение корней на отрезке $[4\pi; 6\pi]$

Теперь необходимо отобрать те корни, которые принадлежат заданному отрезку $[4\pi; 6\pi]$.

Для первой серии корней $x = 2\pi k$:

$4\pi \le 2\pi k \le 6\pi$

Разделим неравенство на $2\pi$:

$2 \le k \le 3$

Поскольку $k$ — целое число, нам подходят значения $k=2$ и $k=3$.

При $k=2$ получаем корень $x_1 = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$.

При $k=3$ получаем корень $x_2 = 2\pi \cdot 3 = 6\pi$.

Для второй серии корней $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$:

а) Рассмотрим подсерию $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$:

$4\pi \le \frac{\pi}{3} + 2\pi n \le 6\pi$

$4 \le \frac{1}{3} + 2n \le 6 \implies 4 - \frac{1}{3} \le 2n \le 6 - \frac{1}{3} \implies \frac{11}{3} \le 2n \le \frac{17}{3} \implies \frac{11}{6} \le n \le \frac{17}{6}$

Это неравенство можно записать как $1\frac{5}{6} \le n \le 2\frac{5}{6}$. Единственное целое число $n$ в этом интервале — это $n=2$.

При $n=2$ получаем корень $x_3 = \frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot 2 = \frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{13\pi}{3}$.

б) Рассмотрим подсерию $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$:

$4\pi \le -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \le 6\pi$

$4 \le -\frac{1}{3} + 2n \le 6 \implies 4 + \frac{1}{3} \le 2n \le 6 + \frac{1}{3} \implies \frac{13}{3} \le 2n \le \frac{19}{3} \implies \frac{13}{6} \le n \le \frac{19}{6}$

Это неравенство можно записать как $2\frac{1}{6} \le n \le 3\frac{1}{6}$. Единственное целое число $n$ в этом интервале — это $n=3$.

При $n=3$ получаем корень $x_4 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot 3 = -\frac{\pi}{3} + 6\pi = \frac{17\pi}{3}$.

Нахождение суммы минимального и максимального корней

Мы нашли все корни уравнения, принадлежащие отрезку $[4\pi; 6\pi]$: $4\pi, 6\pi, \frac{13\pi}{3}, \frac{17\pi}{3}$. Для определения минимального и максимального корней сравним их. Приведем все корни к общему знаменателю 3: $4\pi = \frac{12\pi}{3}$ и $6\pi = \frac{18\pi}{3}$. Расположим корни в порядке возрастания: $\frac{12\pi}{3} < \frac{13\pi}{3} < \frac{17\pi}{3} < \frac{18\pi}{3}$.

Следовательно, минимальный корень на отрезке $x_{min} = 4\pi$.

Максимальный корень на отрезке $x_{max} = 6\pi$.

Сумма минимального и максимального корней равна:

$x_{min} + x_{max} = 4\pi + 6\pi = 10\pi$.

Ответ: $10\pi$.