Номер 15, страница 151, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

15. (3) $\sin^4 2x - \sin^2 4x + 3\cos^4 2x = 0$

Исходное уравнение:

$ \sin^4 2x - \sin^2 4x + 3\cos^4 2x = 0 $

Воспользуемся формулой синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $. Применим ее к члену $ \sin 4x $:

$ \sin 4x = \sin(2 \cdot 2x) = 2\sin 2x \cos 2x $

Следовательно, квадрат этого выражения будет:

$ \sin^2 4x = (2\sin 2x \cos 2x)^2 = 4\sin^2 2x \cos^2 2x $

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$ \sin^4 2x - 4\sin^2 2x \cos^2 2x + 3\cos^4 2x = 0 $

Мы получили однородное тригонометрическое уравнение четвертой степени относительно $ \sin 2x $ и $ \cos 2x $.

Проверим, является ли $ \cos 2x = 0 $ решением. Если $ \cos 2x = 0 $, то $ \cos^4 2x = 0 $. Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2 2x + \cos^2 2x = 1 $ следует, что $ \sin^2 2x = 1 $, и, соответственно, $ \sin^4 2x = 1 $.

Подставив эти значения в преобразованное уравнение, получим:

$ 1 - 4(1)(0) + 3(0) = 1 \neq 0 $

Таким образом, $ \cos 2x \neq 0 $, и мы можем разделить обе части уравнения на $ \cos^4 2x $:

$ \frac{\sin^4 2x}{\cos^4 2x} - \frac{4\sin^2 2x \cos^2 2x}{\cos^4 2x} + \frac{3\cos^4 2x}{\cos^4 2x} = 0 $

Используя определение тангенса $ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $, перепишем уравнение:

$ \tan^4 2x - 4\tan^2 2x + 3 = 0 $

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену: пусть $ t = \tan^2 2x $. Поскольку квадрат числа не может быть отрицательным, $ t \ge 0 $.

Получаем квадратное уравнение относительно $ t $:

$ t^2 - 4t + 3 = 0 $

По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Следовательно, корни уравнения:

$ t_1 = 1 $

$ t_2 = 3 $

Оба корня удовлетворяют условию $ t \ge 0 $. Выполним обратную замену для каждого корня.

1. Рассматриваем случай $ t_1 = 1 $:

$ \tan^2 2x = 1 $

Это равносильно совокупности двух уравнений:

$ \tan 2x = 1 \quad \text{или} \quad \tan 2x = -1 $

Решения этих уравнений:

$ 2x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

$ 2x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Эти две серии решений можно объединить в одну формулу: $ 2x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2} $, где $ m \in \mathbb{Z} $.

Отсюда находим первую серию корней для $ x $:

$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi m}{4}, \quad m \in \mathbb{Z} $

2. Рассматриваем случай $ t_2 = 3 $:

$ \tan^2 2x = 3 $

Это равносильно совокупности двух уравнений:

$ \tan 2x = \sqrt{3} \quad \text{или} \quad \tan 2x = -\sqrt{3} $

Решения этих уравнений:

$ 2x = \frac{\pi}{3} + \pi p, \quad p \in \mathbb{Z} $

$ 2x = -\frac{\pi}{3} + \pi q, \quad q \in \mathbb{Z} $

Эти две серии можно объединить в одну формулу: $ 2x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Отсюда находим вторую серию корней для $ x $:

$ x = \pm\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ \frac{\pi}{8} + \frac{\pi m}{4}; \pm\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, \quad m, k \in \mathbb{Z}. $