Номер 15, страница 147, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

15. $3\cos 2x - 8\cos x=11$

Для решения этого тригонометрического уравнения приведем его к алгебраическому виду относительно одной тригонометрической функции. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$.

Подставив эту формулу в заданное уравнение, получим:

$3(2\cos^2(x) - 1) - 8\cos(x) = 11$

Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$6\cos^2(x) - 3 - 8\cos(x) - 11 = 0$

$6\cos^2(x) - 8\cos(x) - 14 = 0$

Упростим уравнение, разделив обе его части на 2:

$3\cos^2(x) - 4\cos(x) - 7 = 0$

Теперь уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно $\cos(x)$. Чтобы его было проще решить, введем замену переменной. Пусть $t = \cos(x)$. Важно помнить, что область значений косинуса — это отрезок $[-1, 1]$, поэтому для корней должно выполняться условие $|t| \le 1$.

С учетом замены уравнение принимает вид:

$3t^2 - 4t - 7 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 16 + 84 = 100$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, которые находятся по формуле $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 10}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$

$t_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 10}{6} = \frac{-6}{6} = -1$

Теперь необходимо выполнить обратную замену и проверить, удовлетворяют ли найденные корни условию $|t| \le 1$.

1. Для $t_1 = \frac{7}{3}$ получаем $\cos(x) = \frac{7}{3}$. Так как $\frac{7}{3} > 1$, это значение не входит в область значений функции косинуса. Следовательно, данное уравнение не имеет решений.

2. Для $t_2 = -1$ получаем $\cos(x) = -1$. Это значение удовлетворяет условию $|\cos(x)| \le 1$.

Решим простейшее тригонометрическое уравнение $\cos(x) = -1$. Его решением является серия корней:

$x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (то есть $k$ — любое целое число).

Ответ: $\pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.